欧拉公式简明推导

证明部分

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欧拉公式 $e^{j\theta }=\cos \theta +j\sin \theta$ 被誉为“数学中最美丽的公式”之一，

我这里取的是1748年的初版形式，公式是相通的

要“证明”它，最常见的方法是使用泰勒级数（Taylor Series）展开。这需要你对函数展开成无穷级数有一些了解。（高等数学学完中值定理后？）

证明：使用泰勒级数展开

我们将从三个基本函数的泰勒级数展开式开始：

1. 指数函数 $e^x$ 的泰勒级数展开式：
   对于任何实数或复数 $x$，
   $$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$$

2. 余弦函数 $\cos \theta$ 的泰勒级数展开式：
   对于任何实数 $\theta$，
   $$\cos \theta =1-\frac{{\theta }^2}{2!}+\frac{{\theta }^4}{4!}-\frac{{\theta }^6}{6!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{\theta }^{2n}}{(2n)!}$$

3. 正弦函数 $\sin \theta$ 的泰勒级数展开式：
   对于任何实数 $\theta$，
   $$\sin \theta =\theta -\frac{{\theta }^3}{3!}+\frac{{\theta }^5}{5!}-\frac{{\theta }^7}{7!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{\theta }^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

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现在，我们来证明欧拉公式：

第一步：将 $x=j\theta$ 代入 $e^x$ 的泰勒级数展开式中。
$$e^{j\theta }=1+(j\theta )+\frac{(j\theta {)}^2}{2!}+\frac{(j\theta {)}^3}{3!}+\frac{(j\theta {)}^4}{4!}+\frac{(j\theta {)}^5}{5!}+\frac{(j\theta {)}^6}{6!}+\dots$$

第二步：计算 $j$ 的幂次。
我们知道虚数单位 $j$ 的定义是 $j^2=-1$。由此可以推导出：

• $j^1=j$
• $j^2=-1$
• $j^3=j^2\cdot j=-j$
• $j^4=j^2\cdot j^2=(-1)(-1)=1$
• $j^5=j^4\cdot j=j$
• $j^6=j^4\cdot j^2=1\cdot (-1)=-1$
  (这个模式 $j,-1,-j,1$ 会周期性地重复)

第三步：将 $j$ 的幂次代回展开式。
$$e^{j\theta }=1+j\theta +\frac{(-1){\theta }^2}{2!}+\frac{(-j){\theta }^3}{3!}+\frac{(1){\theta }^4}{4!}+\frac{(j){\theta }^5}{5!}+\frac{(-1){\theta }^6}{6!}+\dots$$

第四步：将实部和虚部分开，重新分组。
$$e^{j\theta }=\left(1-\frac{{\theta }^2}{2!}+\frac{{\theta }^4}{4!}-\frac{{\theta }^6}{6!}+\dots \right)+j\left(\theta -\frac{{\theta }^3}{3!}+\frac{{\theta }^5}{5!}-\frac{{\theta }^7}{7!}+\dots \right)$$

第五步：识别这两个括号中的级数。
你会发现：

• 第一个括号里的级数正是 $\cos \theta$ 的泰勒级数展开式。
• 第二个括号里（乘以 $j$ 的部分）的级数正是 $\sin \theta$ 的泰勒级数展开式。

最终结论：
因此，我们可以得出：
$$e^{j\theta }=\cos \theta +j\sin \theta$$

补充说明

怎么去理解欧拉公式

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你可以完全将 $\cos (\theta )+j\sin (\theta )$ 理解为两个向量的相加，这两个向量分别是：

1. 实部向量： $\cos (\theta )$ 在实轴上的分量。你可以把它看作是一个沿着正实轴（相当于二维坐标系中的 X 轴）方向的向量，其长度为 $ \cos(\theta) $。

   • 比如，如果 $\theta =0$，这个向量就是 $(1,0)$。
   • 如果 $\theta =\pi /2$，这个向量就是 $(0,0)$（因为 $\cos (\pi /2)=0$）。

2. 虚部向量： $\sin (\theta )$ 在虚轴上的分量。由于 $j$ 的存在，它表示这个分量是沿着正虚轴（相当于二维坐标系中的 Y 轴）方向的向量，其长度为 $\sin (\theta )$。

   • 比如，如果 $\theta =0$，这个向量就是 $(0,0)$。
   • 如果 $\theta =\pi /2$，这个向量就是 $(0,1)$。

当你把这两个沿着各自轴向的向量相加时，你得到的正是复平面上那个点 $(\cos (\theta ),\sin (\theta ))$。这个点从原点出发的向量，就是 $e^{j\theta }$ 所代表的复数。

为什么不是“两个值的相加”？

在复数领域，加法是向量的叠加，而不是简单的实数加法。

• 实数加法： $2+3=5$。它们都在一条数轴上，结果也在那条数轴上。
• 复数加法（或向量叠加）： $(2+j3)+(1+j4)=(2+1)+j(3+4)=3+j7$。
  这里，实部和虚部分开相加，就像二维向量的 $X$ 分量和 $Y$ 分量分别相加一样。$j$ 的作用是明确指定了虚部的方向，确保了加法是在复平面上进行的向量叠加。

理解$\cos (\theta )+j\sin (\theta )$ 是一个实部（沿着实轴）和一个虚部（沿着虚轴）的向量和是理解复数和欧拉公式几何意义的基石。

所以当我们看到
欧拉恒等式：$e^{j\pi }+1=0$ 时
不难想到，其实它就是：
$e^{j\pi }=-1+0j$

这表示的当然就是单位圆上（-1,0）的那个点了