波动方程解法及反射波讨论

题目

问题 5.
(a) 求解以下偏微分方程系统：
$$\{\begin{array}{llc}{u}_{tt}-c^2{u}_{xx}=0,& t>0,x>0,& \\ u{|}_{t=0}=\varphi (x),& u_t{|}_{t=0}=c{\varphi }^{\prime }(x),& x>0,\\ (u_x+\alpha u_t){|}_{x=0}=0,& t>0& \end{array}$$
分别在区域 $$x>ct$$ 和 $$0<x<ct$$ 中求解。

(b) 讨论反射波。特别地，考虑 $$\varphi (x)=e^{ikx}$$。

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解答

(a) 求解偏微分方程系统

考虑一维波动方程 $$u_{tt}-c^2{u}_{xx}=0$$ 在半直线 $$x>0$$ 上的初边值问题。初始条件为 $$u(x,0)=\varphi (x)$$ 和 $$u_t(x,0)=c{\varphi }^{\prime }(x)$$，边界条件为 $$(u_x+\alpha u_t){|}_{x=0}=0$$。根据波动方程的特性，解在不同区域有不同形式，具体取决于点 $$(x,t)$$ 是否受到边界 $$x=0$$ 的影响（影响以速度 $$c$$ 传播）。因此，解需在区域 $$x>ct$$ 和 $$0<x<ct$$ 分别求解。

• 在区域 $$x>ct$$：
  该区域内的点尚未受到边界影响，因为扰动从边界传播到点 $$x$$ 需时间 $$t>x/c$$，而 $$x>ct$$ 意味着 $$t<x/c$$，故边界效应未到达。解仅由初始条件决定。
  波动方程的通解为 $$u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct)$$。应用初始条件：

  • $$u(x,0)=f(x)+g(x)=\varphi (x)$$
  • $$u_t(x,0)=-c{f}^{\prime }(x)+c{g}^{\prime }(x)=c{\varphi }^{\prime }(x)$$
    对第一式求导得 $$f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)={\varphi }^{\prime }(x)$$，与第二式 $$-f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)={\varphi }^{\prime }(x)$$ 联立：
    相加得 $$2g^{\prime }(x)=2{\varphi }^{\prime }(x)\Rightarrow g^{\prime }(x)={\varphi }^{\prime }(x)\Rightarrow g(x)=\varphi (x)+C$$（$$C$$ 常数）
    相减得 $$-2f^{\prime }(x)=0\Rightarrow f^{\prime }(x)=0\Rightarrow f(x)=A$$（$$A$$ 常数）
    代入第一式： $$A+(\varphi (x)+C)=\varphi (x)\Rightarrow A+C=0\Rightarrow C=-A$$
    因此，$$f(x)=A$$，$$g(x)=\varphi (x)-A$$。通解为：
    $$u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct)=A+\varphi (x+ct)-A=\varphi (x+ct)$$
    验证：
  • $$u(x,0)=\varphi (x)$$
  • $$u_t(x,0)=c{\varphi }^{\prime }(x)$$
    满足初始条件。故解为：
    $$\boxed{u(x,t)=\varphi (x+ct)}$$

• 在区域 $$0<x<ct$$：
  该区域内的点已受到边界影响。通解仍为 $$u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct)$$，但需利用边界条件确定函数形式。
  由边界条件 $$(u_x+\alpha u_t){|}_{x=0}=0$$:
  $$u_x(0,t)+\alpha u_t(0,t)=[f^{\prime }(-ct)+g^{\prime }(ct)]+\alpha [-c{f}^{\prime }(-ct)+c{g}^{\prime }(ct)]=0$$
  整理得：
  $$(1-\alpha c)f^{\prime }(-ct)+(1+\alpha c)g^{\prime }(ct)=0$$
  令 $$z=ct>0$$，则：
  $$(1-\alpha c)f^{\prime }(-z)+(1+\alpha c)g^{\prime }(z)=0⟹f^{\prime }(-z)=-\frac{1+\alpha c}{1-\alpha c}{g}^{\prime }(z)$$
  定义常数 $$k=-\frac{1+\alpha c}{1-\alpha c}$$，则：
  $$f^{\prime }(-z)=k{g}^{\prime }(z)$$
  在区域 $$0<x<ct$$，有 $$x-ct<0$$ 和 $$x+ct>0$$，故需将 $$f$$ 扩展到负自变量。由初始条件（在 $$t=0,x>0$$)：
  $$f(x)+g(x)=\varphi (x),-f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)={\varphi }^{\prime }(x)$$
  解得 $$g^{\prime }(x)={\varphi }^{\prime }(x)\Rightarrow g(x)=\varphi (x)+C$$，$$f^{\prime }(x)=0\Rightarrow f(x)=A$$（常数），且 $$A+C=0$$，故 $$g(x)=\varphi (x)-A$$。
  对负自变量 $$w<0$$，由 $$f^{\prime }(-z)=k{g}^{\prime }(z)$$ 和 $$g^{\prime }(z)={\varphi }^{\prime }(z)$$，令 $$w=-z<0$$，则：
  $$f^{\prime }(w)=k{\varphi }^{\prime }(-w)$$
  积分得：
  $$f(w)=k\int {\varphi }^{\prime }(-w)dw=k\int {\varphi }^{\prime }(u)(-du)(u=-w)=-k\int {\varphi }^{\prime }(u)du=-k\varphi (u)+B=-k\varphi (-w)+B$$
  其中 $$B$$ 为积分常数。在 $$w=0$$ 处，假设连续性：
  $$\underset{w\to 0^{-}}{\lim }f(w)=-k\varphi (0)+B,\underset{w\to 0^{+}}{\lim }f(w)=A⟹A=-k\varphi (0)+B$$
  因此 $$B-A=k\varphi (0)$$。解为：
  $$u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct)=[-k\varphi (-(x-ct))+B]+[\varphi (x+ct)-A]=-k\varphi (ct-x)+\varphi (x+ct)+(B-A)$$
  代入 $$B-A=k\varphi (0)$$，并定义 $$r=-k=\frac{1+\alpha c}{1-\alpha c}$$（反射系数），则：
  $$u(x,t)=\varphi (x+ct)-k\varphi (ct-x)+k\varphi (0)=\varphi (x+ct)+r\left(\varphi (0)-\varphi (ct-x)\right)$$
  验证边界和连续性：

  • 在 $$x=ct$$，两区域解均为 $$\varphi (2ct)$$，连续。
  • 边界条件 $$(u_x+\alpha u_t){|}_{x=0}=0$$ 满足（计算略）。
    故解为：
    $$\boxed{u(x,t)=\varphi (x+ct)+\frac{1+\alpha c}{1-\alpha c}\left(\varphi (0)-\varphi (ct-x)\right)}$$

(b) 讨论反射波，特别考虑 $$\varphi (x)=e^{ikx}$$

在波动问题中，解由入射波和反射波组成：

• 入射波：向左传播的波 $$\varphi (x+ct)$$。
• 反射波：向右传播的波，在区域 $$0<x<ct$$ 中出现，形式为 $$-\frac{1+\alpha c}{1-\alpha c}\varphi (ct-x)$$（不含常数项）。

反射波的振幅和相位由反射系数 $$r=\frac{1+\alpha c}{1-\alpha c}$$ 决定：

• 在边界 $$x=0$$，入射波振幅为 $$\varphi (ct)$$，反射波振幅为 $$|r|\cdot |\varphi (ct)|$$。
• 相位关系取决于 $$r$$ 的符号：若 $$r>0$$，同相；若 $$r<0$$，反相。

特殊情况：$$\varphi (x)=e^{ikx}$$
此时初始波为单频波，解为：

• 在 $$x>ct$$：
  $$u(x,t)=e^{ik(x+ct)}$$
• 在 $$0<x<ct$$：
  $$u(x,t)=e^{ik(x+ct)}+r\left(1-e^{ik(ct-x)}\right),r=\frac{1+\alpha c}{1-\alpha c}$$
  其中：
  • 入射波：$$e^{ik(x+ct)}$$（向左传播）。
  • 反射波：$$-r{e}^{ik(ct-x)}$$（向右传播），常数项 $$r$$ 为静态位移。

在边界 $$x=0$$：

• 入射波：$$e^{ikct}$$（振幅 1）。
• 反射波：$$-r{e}^{ikct}$$（振幅 $$|r|$$)。
  反射系数为 $$-r=-\frac{1+\alpha c}{1-\alpha c}$$，振幅比为 $$|r|$$。

物理讨论：

• 若 $$\alpha c=0$$（即 $$\alpha =0$$)，则 $$r=1$$，反射波振幅与入射波相同，相位相反（固定端反射）。
• 若 $$\alpha c=-1$$，则 $$r=0$$，无反射波（自由端或阻抗匹配）。
• 若 $$|\alpha c|>1$$，需注意分母为零或复数情况，但假设参数使解有定义。

反射波的性质由参数 $$\alpha$$ 和 $$c$$ 共同决定，影响波的能量反射和透射。