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PILCO: 基于模型的高效策略搜索方法原理解析

news 2025/6/28 9:59:21

PILCO: 基于模型的高效策略搜索方法原理解析

PILCO (Probabilistic Inference for Learning Control) 是一种基于模型的强化学习算法，由Marc Deisenroth和Carl Rasmussen于2011年提出。该算法在数据效率方面表现出色，能够以极少的样本数据实现有效学习。下面我将详细阐述PILCO的核心原理。

1. 算法基本框架

PILCO算法的基本框架包含三个主要组成部分：

基于高斯过程的动态模型学习
长期轨迹预测与不确定性传播
基于解析梯度的策略优化

PILCO的工作流程为：

收集少量初始数据
学习系统动态模型
基于模型进行长期预测
优化控制策略
执行策略并收集新数据
迭代上述过程

2. 基于高斯过程的系统动态建模

2.1 高斯过程回归

PILCO使用高斯过程(GP)来建模系统动态。高斯过程是一种非参数贝叶斯方法，可以捕捉输入空间中的不确定性。

对于系统状态 $x_t$ 和控制输入 $u_t$ ，PILCO学习状态转移函数：
$\Delta_t = f(x_t, u_t) = x_{t+1} - x_t$

高斯过程定义了一个分布在函数空间上的先验，通过观测数据更新为后验分布。对于输入 $(x, u)$ ，高斯过程预测下一状态的分布为高斯分布：
$\mathcal{N}(m(x, u), v(x, u))$

其中 $D$ 是训练数据， $m (x, u)$ 是均值函数， $v (x, u)$ 是方差函数。

2.2 多输出高斯过程

对于多维状态空间，PILCO使用多个独立的高斯过程模型，每个模型预测状态向量的一个维度。在代码中，这通过MGPR（多输出高斯过程回归）类实现：

class MGPR(gpflow.Module):def __init__(self, data, name=None):# 初始化多个独立的GP模型，每个模型对应一个状态维度

3. 长期轨迹预测与不确定性传播

PILCO的一个关键创新是如何进行长期预测并处理不确定性的传播。

3.1 状态分布的表示

PILCO使用高斯分布来表示状态：
$p(x_t) = \mathcal{N}(m_t, S_t)$

其中 $m_t$ 是均值向量， $S_t$ 是协方差矩阵。

3.2 不确定性的传播

当状态和动作都是分布时，预测下一状态分布变得复杂。PILCO使用矩匹配(moment matching)技术将复杂分布近似为高斯分布：

首先计算控制器输出的动作分布：

m_u, s_u, c_xu = self.controller.compute_action(m_x, s_x)

将状态和动作分布合并：

m = tf.concat([m_x, m_u], axis=1)
s1 = tf.concat([s_x, s_x@c_xu], axis=1)
s2 = tf.concat([tf.transpose(s_x@c_xu), s_u], axis=1)
s = tf.concat([s1, s2], axis=0)

基于高斯过程模型预测下一状态分布：

M_dx, S_dx, C_dx = self.mgpr.predict_on_noisy_inputs(m, s)
M_x = M_dx + m_x
S_x = S_dx + s_x + s1@C_dx + tf.matmul(C_dx, s1, transpose_a=True, transpose_b=True)

这种方法允许PILCO在长期预测中明确考虑模型不确定性。

4. 基于解析梯度的策略优化

4.1 期望回报的计算

PILCO定义了一个基于状态的奖励函数 $r (x)$ ，通常是一个关于状态与目标状态距离的指数函数：

class ExponentialReward(Module):def compute_reward(self, m, s):# 计算状态分布下的期望奖励及其方差

长期预测的累积奖励作为策略的评估指标：

def predict(self, m_x, s_x, n):# 从初始状态分布预测n步，并累积奖励_, m_x, s_x, reward = tf.while_loop(lambda j, m_x, s_x, reward: j < n,lambda j, m_x, s_x, reward: (j + 1,*self.propagate(m_x, s_x),tf.add(reward, self.reward.compute_reward(m_x, s_x)[0])), loop_vars)return m_x, s_x, reward

4.2 策略梯度优化

PILCO使用解析梯度方法优化策略参数，而不是使用样本估计。这通过TensorFlow的自动微分功能实现：

def training_loss(self):# 计算负期望回报作为损失函数reward = self.predict(self.m_init, self.S_init, self.horizon)[2]return -rewarddef optimize_policy(self, maxiter=50, restarts=1):# 使用梯度下降优化策略参数self.optimizer.minimize(self.training_loss, self.trainable_variables, options=dict(maxiter=maxiter))

为避免局部最优，PILCO支持多次随机重启：

for restart in range(restarts):self.controller.randomize()self.optimizer.minimize(self.training_loss, self.trainable_variables)

5. 控制器设计

PILCO支持多种控制器类型，包括：

5.1 线性控制器

class LinearController(gpflow.Module):def compute_action(self, m, s, squash=True):# 线性映射：u = Wx + bM = m @ tf.transpose(self.W) + self.bS = self.W @ s @ tf.transpose(self.W)# 可选的动作范围限制if squash:M, S, V2 = squash_sin(M, S, self.max_action)

5.2 RBF控制器

class RbfController(MGPR):def compute_action(self, m, s, squash=True):# 使用RBF网络实现非线性控制with tf.name_scope("controller"):iK, beta = self.calculate_factorizations()M, S, V = self.predict_given_factorizations(m, s, 0.0 * iK, beta)