单调栈一文深度解析

单调栈是一种专门处理元素间序关系的高效数据结构，它通过维护栈内元素的单调性，能够在线性时间内解决诸如下一个更大/小元素系列经典问题。本文我将从单调栈的核心原理出发，结合经典案例，解析并总结其解题模板及优化技巧，帮你掌握这一高效解题工具。

一、单调栈基础概念

1.1 定义与核心特性

单调栈是指栈内元素（从栈底到栈顶）保持单调递增或单调递减的栈结构。根据单调性不同，分为：

• 单调递增栈：栈内元素始终满足 stack[i] <= stack[i+1]
• 单调递减栈：栈内元素始终满足 stack[i] >= stack[i+1]

其核心特性是：当新元素入栈时，通过弹出栈顶不满足单调性的元素，确保栈内元素始终保持单调。这种特性使得单调栈能够高效处理「元素与周边元素的序关系」问题。

1.2 与普通栈的区别

特性	普通栈	单调栈
元素顺序	无约束	严格单调
主要操作	push/pop	维护单调性
典型场景	表达式求值	序关系问题
时间复杂度	不定	均摊O(n)

1.3 核心操作模板

// 单调递增栈模板
Stack<Integer> stack = new Stack<>();
for (int num : nums) {while (!stack.isEmpty() && stack.peek() >= num) { // 破坏递增性时弹出int poped = stack.pop();// 处理弹出元素}stack.push(num); // 新元素入栈，确保栈递增
}// 单调递减栈模板
Stack<Integer> stack = new Stack<>();
for (int num : nums) {while (!stack.isEmpty() && stack.peek() <= num) { // 破坏递减性时弹出int poped = stack.pop();// 处理弹出元素}stack.push(num); // 新元素入栈，确保栈递减
}

二、单调栈核心原理

2.1 单调性维护机制

• 入栈规则：新元素入栈前，弹出所有破坏单调性的栈顶元素
• 元素处理：弹出元素时，当前新元素即为其「下一个更大/更小元素」
• 均摊复杂度：每个元素最多入栈/出栈一次，总时间复杂度O(n)
  

2.2 典型应用场景

1. 下一个更大元素：数组中每个元素右侧第一个比它大的元素
2. 接雨水问题：计算柱状图能接的雨水总量
3. 柱状图最大面积：求解直方图中的最大矩形面积
4. 每日温度：计算每天需要等待多久才会升温
5. 股票买卖问题：寻找最佳买卖时机的变种问题

三、经典案例解析

下一个更大元素

问题描述

给定数组nums，返回一个新数组，其中每个元素是原数组对应位置元素的下一个更大元素（右侧第一个比它大的元素，不存在则为-1）。

思路分析

• 使用单调递增栈，栈中保存尚未找到下一个更大元素的元素下标
• 遍历数组时，新元素与栈顶元素比较：
  • 若新元素更大：栈顶元素的下一个更大元素即为当前元素，弹出并记录
  • 否则：新元素下标入栈

代码实现

public int[] nextGreaterElement(int[] nums) {int[] res = new int[nums.length];Stack<Integer> stack = new Stack<>(); // 存储下标，栈中元素对应的值单调递增for (int i = nums.length - 1; i >= 0; i--) {while (!stack.isEmpty() && nums[stack.peek()] <= nums[i]) {stack.pop(); // 弹出不满足递增的元素}res[i] = stack.isEmpty() ? -1 : nums[stack.peek()];stack.push(i);}return res;
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，每个元素入栈出栈各一次
• 空间复杂度：O(n)，栈空间最多存储n个元素

接雨水问题

问题描述

给定n个非负整数表示柱状图的高度，计算下雨后能接多少雨水。

思路分析

• 单调栈解法：维护单调递减栈，栈中存储柱子下标
• 当新柱子高度 >= 栈顶柱子高度时，弹出栈顶，计算中间凹槽的接水量
• 接水量由左右边界的较小值减去中间柱子高度决定

代码实现

public int trap(int[] height) {int res = 0;Stack<Integer> stack = new Stack<>(); // 存储下标，栈中高度单调递减for (int i = 0; i < height.length; i++) {while (!stack.isEmpty() && height[i] >= height[stack.peek()]) {int mid = stack.pop();if (stack.isEmpty()) break; // 没有左边界，无法形成凹槽int left = stack.peek();int width = i - left - 1;int h = Math.min(height[left], height[i]) - height[mid];res += width * h;}stack.push(i);}return res;
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，每个元素入栈出栈各一次
• 空间复杂度：O(n)，栈空间最多存储n个元素

柱状图最大面积

问题描述

给定直方图的高度数组，求其中最大矩形面积。

思路分析

• 单调递增栈：栈中存储下标，对应高度单调递增
• 每个元素出栈时，视为矩形的高，宽度由左右边界决定：
  • 左边界：栈顶元素（弹出后的新栈顶）
  • 右边界：当前元素下标
  • 宽度 = 右边界 - 左边界 - 1

代码实现

public int largestRectangleArea(int[] heights) {int res = 0;Stack<Integer> stack = new Stack<>(); // 存储下标，栈中高度单调递增int[] newHeights = Arrays.copyOf(heights, heights.length + 2); // 首尾加0，避免边界处理for (int i = 0; i < newHeights.length; i++) {while (!stack.isEmpty() && newHeights[i] < newHeights[stack.peek()]) {int h = newHeights[stack.pop()];int w = i - stack.peek() - 1;res = Math.max(res, h * w);}stack.push(i);}return res;
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，每个元素入栈出栈各一次
• 空间复杂度：O(n)，栈空间及辅助数组

四、单调栈解题模板

4.1 通用解题步骤

1. 确定单调性：根据问题确定使用递增栈还是递减栈（找更大元素用递增栈，找更小元素用递减栈）
2. 定义栈存储内容：通常存储元素下标（便于计算距离），而非直接存储元素值
3. 处理边界条件：通过虚拟边界（如首尾加0）简化边界判断
4. 元素弹出逻辑：当新元素破坏单调性时，弹出栈顶元素并计算相关结果

4.2 常见问题映射表

问题类型	单调性	栈存储	弹出条件	结果计算方式
下一个更大元素	递增栈	下标	新元素 > 栈顶元素	新元素为栈顶元素的下一个更大元素
柱状图最大面积	递增栈	下标	新元素 < 栈顶元素	栈顶元素为高，左右边界算宽度
接雨水	递减栈	下标	新元素 >= 栈顶元素	栈顶元素为中间柱，算凹槽水量
每日温度	递增栈	下标	新元素温度 > 栈顶温度	天数为下标差

五、进阶技巧与优化

5.1 双向单调栈

对于需要同时考虑左右边界的问题（如接雨水问题），可分别使用左右单调栈计算每个位置的左右最大高度，再取较小值计算水量。虽然时间复杂度同为O(n)，但代码逻辑更清晰：

// 接雨水双向栈解法
public int trap(int[] height) {int n = height.length;int[] leftMax = new int[n];int[] rightMax = new int[n];// 左单调栈（递增）Stack<Integer> leftStack = new Stack<>();for (int i = 0; i < n; i++) {while (!leftStack.isEmpty() && height[leftStack.peek()] <= height[i]) {leftStack.pop();}leftMax[i] = leftStack.isEmpty() ? 0 : height[leftStack.peek()];leftStack.push(i);}// 右单调栈（递增）Stack<Integer> rightStack = new Stack<>();for (int i = n-1; i >= 0; i--) {while (!rightStack.isEmpty() && height[rightStack.peek()] <= height[i]) {rightStack.pop();}rightMax[i] = rightStack.isEmpty() ? 0 : height[rightStack.peek()];rightStack.push(i);}int res = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {res += (Math.min(leftMax[i], rightMax[i]) - height[i]);}return res;
}

5.2 单调栈与动态规划结合

在「股票买卖的最佳时机」系列问题中，可结合单调栈优化动态规划的状态转移，将O(n²)的暴力解法优化至O(n)，我将在之后的博客中进行讲解，持续关注不错过哦。

5.3 注意事项

• 下标与值的区分：栈中存储下标而非值，便于计算元素间的距离（如宽度、天数差）
• 虚拟元素处理：通过在数组首尾添加虚拟元素（如0），避免单独处理边界条件
• 单调性方向判断：明确问题需要「更大」还是「更小」元素，选择对应的单调栈类型

单调栈通过维护元素的单调性，将原本需要双重循环的序关系问题优化至线性时间，是解决「下一个更大/更小元素」类问题的核心工具。其核心思想是：用栈结构缓存尚未处理的元素，通过单调性约束快速确定元素间的序关系。

That’s all, thanks for reading!
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