概率论符号和公式整理

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以下整理了概率论中的常用符号和公式表格，覆盖基础知识、关键定理和常用分布：

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一、基础集合与事件符号

符号	名称	含义/公式	说明
$S$	样本空间	所有可能结果的集合	全集
$\omega$	样本点	$S$ 中的元素	基本事件
$A,B$	事件	$S$ 的子集	可能发生的结果集合
$A^c$	补事件	$S-A$	$A$ 不发生
$A\cap B$	事件交	$A$ 与 $B$ 同时发生	$P(A\cap B)$ 即联合概率
$A\cup B$	事件并	$A$ 或 $B$ 发生	加法公式核心
$A\setminus B$	事件差	$A$ 发生但 $B$ 不发生	$A\cap B^c$
$\varnothing$	空事件	不可能事件	$P(\varnothing )=0$
$A\subseteq B$	事件包含	$A$ 发生则 $B$ 必然发生	蕴含关系
$A\perp B$	事件独立	$P(A\cap B)=P(A)P(B)$	统计独立性定义

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二、概率函数与公理

公理

公理	名称	数学表述	说明
公理 1	非负性	对于任意事件 $A$ (即 $A\subseteq S$)， $P(A)\ge 0$	任何事件发生的概率都不能小于零。
公理 2	规范性	$P(S)=1$	整个样本空间 $S$ (包含所有可能结果) 发生的概率等于 1。意味着某种结果必然发生。
公理 3	可列可加性	对于任意可数个 (有限个或可数无穷个) 两两互斥的事件 $A_1,A_2,A_3,...$ (即 $i\ne j$ 时 $A_i\cap A_j=\varnothing$)， $P\left({\bigcup }_{i=1}^{\infty }{A}_i\right)={\sum }_{i=1}^{\infty }P(A_i)$	互斥事件并的概率等于各事件概率之和。如果一个事件可以分解成一些互不重叠的子事件，那么该事件的概率就是这些子事件概率的总和。

符号	名称	公式/定义	说明
$P(A\mid B)$	条件概率	$\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$	$B$ 发生下 $A$ 的概率
公式	乘法公式	$P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)$	联合概率计算
公式	全概率公式	$P(A)={\sum }_{i}P(A\mid B_i)P(B_i)$	{ B i } \{B_i\} {Bi​} 为分割
公式	贝叶斯定理	$P(B_j\mid A)=\frac{P(A\mid B_j)P(B_j)}{{\sum }_{i}P(A\mid B_i)P(B_i)}$	后验概率计算

对偶公式

符号/名称	公式	说明
德摩根律 (事件逆运算法则)	$(A\cup B{)}^c=A^c\cap B^c$	并集的补集 = 补集的交集 （推广：${\left({\bigcup }_i{A}_i\right)}^c={\bigcap }_i{A}_i^c$）
	$(A\cap B{)}^c=A^c\cup B^c$	交集的补集 = 补集的并集 （推广：${\left({\bigcap }_i{A}_i\right)}^c={\bigcup }_i{A}_i^c$）
加法公式的对偶形式	$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$	事件并的概率 = 概率和减交集概率 （消除重复计算）
	$P(A\cap B^c)=P(A)-P(A\cap B)$	$A$ 发生但 $B$ 不发生的概率
互斥事件的对偶性质	若 $A\cap B=\varnothing$，则 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$	互斥时：并集概率 = 概率之和
	若 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$，则 $A\cap B=\varnothing$	逆关系：概率可加性蕴含事件互斥
Borel-Cantelli 引理的对偶	${\sum }_{n=1}^{\infty }P(A_n)<\infty ⟹P\left(\mathrm{limsup}{A}_n\right)=0$	事件列若概率和收敛，则“无限发生”概率为 0
	${\sum }_{n=1}^{\infty }P(A_n)=\infty \text{ 且独立}⟹P\left(\mathrm{limsup}{A}_n\right)=1$	事件列若独立且概率和发散，则“无限发生”概率为 1（对偶结论）
独立性的对偶条件	$P(A\cap B)=P(A)P(B)⟹A,B\text{ 独立}$	独立性的基础定义形式
	$P(A\mid B)=P(A)\text{（当 }P(B)>0\text{）}$	对偶表达：条件概率 = 无条件概率 （独立性在条件概率中的体现）
	$P(A\mid B)=P(A\mid B^c)$	独立性等价于：$B$ 发生与否不影响 $A$ 的条件概率

对偶性在概率论中的意义：
对偶公式揭示了概率运算中互补结构的对称性（如并/交、发生/不发生、独立/相关），是化简复杂概率问题和证明极限定理的核心工具。尤其当问题涉及补事件或互逆结论时（如“至少发生一次” vs. “永不发生”），对偶关系常提供简洁的转换路径。

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三、随机变量与分布

符号	名称	公式/定义	说明
$X,Y$	随机变量	函数 $X:S\to \mathbb{R}$	将结果映射为实数
$F_X(x)$	累积分布函数 (CDF)	$F_X(x)=P(X\le x)$	单调不减、右连续
离散型
$p_X(x)$	概率质量函数 (PMF)	$p_X(x)=P(X=x)$	离散随机变量概率
连续型
$f_X(x)$	概率密度函数 (PDF)	$P(a\le X\le b)={\int }_a^b{f}_X(x)dx$	$f_X(x)\ge 0$, (\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) , dx = 1$
公式	CDF与PDF关系	$F_X(x)={\int }_{-\infty }^x{f}_X(t)dt$	$f_X(x)=\frac{d}{dx}{F}_X(x)$

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四、重要数字特征

符号	名称	公式	说明
$E[X]$	期望	离散： $\sum x_{i}p(x_i)$ 连续： $\int xf(x)dx$	随机变量平均值
$\text{Var}(X)$	方差	$E\left[(X-E[X]{)}^2\right]=E[X^2]-(E[X]{)}^2$	度量离散程度
${\sigma }_X$	标准差	$\sqrt{\text{Var}(X)}$	方差的平方根
$\text{Cov}(X,Y)$	协方差	$E[(X-E[X])(Y-E[Y])]=E[XY]-E[X]E[Y]$	衡量两变量线性相关性
${\rho }_{X,Y}$	相关系数	$\frac{\text{Cov}(X,Y)}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}$	$
$\text{Skew}(X)$	偏度	$E\left[{\left(\frac{X-\mu }{\sigma }\right)}^3\right]$	分布不对称性度量
$\text{Kurt}(X)$	峰度	$E\left[{\left(\frac{X-\mu }{\sigma }\right)}^4\right]-3$	分布尖锐或平坦程度（减3后正态为0）

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五、极限定理

以下是大数定律主要形式的结构化对比表格，包含核心公式、条件及收敛目标：

大数定律类型	条件	公式表达（收敛形式）	收敛目标	应用场景
伯努利大数定律	独立重复试验（$n$ 次），固定事件概率 $p$	${\lim }_{n\to \infty }P\left(\left|\frac{{\mu }_n}{n}-p\right|<\epsilon \right)=1$	频率 $\frac{{\mu }_n}{n}$ → 概率 $p$	频率稳定性（抛硬币等）
切比雪夫大数定律	随机变量序列 { X n } \{X_n\} {Xn​} 两两不相关，方差一致有界（$D(X_i)\le C$）	${\lim }_{n\to \infty }P\left(\left|\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i-\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^{n}E(X_i)\right|<\epsilon \right)=1$	样本均值 → 期望均值 $\frac{1}{n}\sum E(X_i)$	异分布随机变量序列分析
辛钦大数定律	{ X n } \{X_n\} {Xn​} 独立同分布（i.i.d.），期望存在（$E(X_i)=\mu$，方差可无）	${\lim }_{n\to \infty }P\left(\left|\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i-\mu \right|<\epsilon \right)=1$	样本均值 ${\bar{X}}_n$ → 总体均值 $\mu$	参数估计（抽样调查）
泊松大数定律	独立试验（$n$ 次），第 $k$ 次事件概率为 $p_k$（概率可变）	${\lim }_{n\to \infty }P\left(\left|\frac{{\mu }_n}{n}-\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n{p}_k\right|<\epsilon \right)=1$	频率 $\frac{{\mu }_n}{n}$ → 平均概率 $\bar{p}$	变概率事件长期规律（如故障率）
马尔可夫大数定律	满足马尔可夫条件：${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n^2}D\left({\sum }_{i=1}^n{X}_i\right)=0$	${\lim }_{n\to \infty }P\left(\left|\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i-\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^{n}E(X_i)\right|<\epsilon \right)=1$	样本均值 → 期望均值 $\frac{1}{n}\sum E(X_i)$	广义随机序列（无相关性要求）

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补充说明：

1. 统一数学表达：
   所有大数定律均可概括为：
   $$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\stackrel{P}{\to }\mu (n\to \infty )$$
   其中 $\mu$ 是总体期望或期望的平均，$\stackrel{P}{\to }$ 表示依概率收敛。

2. 符号：

   • ${\mu }_n$：事件发生次数（伯努利/泊松）
   • ${\bar{X}}_n=\frac{1}{n}\sum X_i$：样本均值
   • $\epsilon$：任意小的正数（收敛精度）
   • $D(\cdot )$：方差

💡 核心思想：大量独立重复试验下，随机现象的偶然性偏差被稀释，样本统计量稳定趋近于理论期望值。
⚠️ 注意：大数定律不消除单次试验的随机性，也不解释微小偏差的长期累积效应（如赌徒谬误）。

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六、常见离散概率分布

分布	PMF	期望	方差	应用场景
伯努利 $\text{Bern}(p)$	$p(1)=p,p(0)=1-p$	$p$	$p(1-p)$	单次二元试验（如抛硬币）
二项 $\text{Bin}(n,p)$	$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$	$np$	$np(1-p)$	$n$ 次独立伯努利试验成功次数
几何 $\text{Geom}(p)$	$(1-p{)}^{k-1}p$	$\frac{1}{p}$	$\frac{1-p}{p^2}$	首次成功所需试验次数
泊松 $\text{Pois}(\lambda )$	$\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}$	$\lambda$	$\lambda$	单位时间/空间内稀有事件发生次数

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七、常见连续概率分布

分布	PDF	期望	方差	应用场景
均匀 $\text{Unif}(a,b)$	$\frac{1}{b-a},x\in [a,b]$	$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a{)}^2}{12}$	区间内等可能取值
正态 $\mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$	$\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$	$\mu$	${\sigma }^2$	自然界广泛存在的分布
指数 $\text{Exp}(\lambda )$	$\lambda e^{-\lambda x},x\ge 0$	$\frac{1}{\lambda }$	$\frac{1}{{\lambda }^2}$	无记忆性的等待时间分布
伽马 $\Gamma (\alpha ,\beta )$	$\frac{{\beta }^{\alpha }{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x}}{\Gamma (\alpha )}$	$\frac{\alpha }{\beta }$	$\frac{\alpha }{{\beta }^2}$	多阶段等待时间、可靠性分析

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说明：

1. 符号体系差异：不同教材/文献可能存在符号差异（如方差 $D(X)$ 或 ${\sigma }_X^2$）。
2. 上下文依赖：符号含义需结合上下文理解（例如 $\sigma$ 可表示标准差或参数）。
3. 分支领域扩展：信息论（熵 $H(X)$)、随机过程（马尔可夫链 $P_{ij}$) 等有其专用符号。
4. 测度论基础：严格定义中概率空间记为 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$，其中 $\mathcal{F}$ 是 $\sigma$-代数。