[数论](a % MOD + b % MOD) % MOD = (a + b) % MOD
这个等式成立是因为模运算的加法性质，即模运算在加法操作下具有分配性。我们可以从数学上证明这个等式：
证明：
设 a 和 b 是任意整数，MOD 是一个正整数。我们需要证明：
(a % MOD + b % MOD) % MOD=(a+b) % MOD
步骤 1：定义余数
我们可以将 a 和 b 表示为：
a=q1⋅MOD+r1（其中 0≤r1<MOD）
b=q2⋅MOD+r2（其中 0≤r2<MOD）
其中：
r1 = a % MOD（a对MOD取余的结果）r2 = b % MOD（b对MOD取余的结果）
步骤 2：计算 (a % MOD + b % MOD) % MOD
a % MOD+b % MOD=r1+r2
如果 r1 + r2 < MOD，那么：
(r1+r2) % MOD=r1+r2
如果 r1 + r2 >= MOD，那么：
(r1+r2) % MOD=(r1+r2)−MOD*n
步骤 3：计算 (a + b) % MOD
a+b=(q1⋅MOD+r1)+(q2⋅MOD+r2)=(q1+q2)⋅MOD+(r1+r2)
因此：
(a+b) % MOD=(r1+r2) = (r1+r2) % MOD
步骤 4：比较两者
(a % MOD+b % MOD) % MOD=(r1+r2) % MOD
(a+b) % MOD=(r1+r2) % MOD
所以：
(a % MOD+b % MOD) % MOD=(a+b) % MOD
直观理解
a % MOD表示a去掉尽可能多的MOD后剩下的部分（即a在[0, MOD-1]范围内）。b % MOD同理。- 它们的和
(a % MOD + b % MOD)可能超过MOD，所以需要再取一次模，确保结果在[0, MOD-1]范围内。 - 而
(a + b) % MOD也是去掉a + b中所有的MOD后剩下的部分，所以两者等价。
为什么这个性质在算法中很重要？
在算法竞赛和大数计算中，我们经常需要对大数取模，以避免数值溢出（如 C++ 的 int 溢出）或提高计算效率（如 Python 的大数计算较慢）。
这个性质允许我们：
- 先对部分结果取模，再相加，最后再取模，而不会影响最终结果。
- 减少中间计算过程的数值大小，防止溢出或降低计算复杂度。
示例
假设 MOD = 7，a = 10，b = 8：
a % MOD=10 % 7=3b % MOD=8 % 7=1(3+1) % 7=4 % 7=4(10+8) % 7=18 % 7=4
两者结果相同，验证了等式成立。
总结
这个等式成立是因为模运算在加法操作下具有分配性，允许我们先取模再相加，而不会影响最终结果。这在算法优化中非常有用，可以避免大数计算并提高效率。