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深入理解栈的合法弹出序列验证算法

news 2025/7/4 12:54:04

引言

在计算机科学中，栈(Stack)是一种非常重要的数据结构，它遵循"后进先出"(LIFO)的原则。栈在编程语言实现、算法设计、系统调用等方面有着广泛的应用。今天，我们将深入探讨一个关于栈的经典问题：如何验证一个给定的弹出序列是否是某个压入序列的合法弹出序列。这个问题看似简单，却蕴含着栈操作的精髓，也是许多算法面试中的常见题目。

问题描述

给定两个整数序列，第一个序列表示栈的压入顺序，请判断第二个序列是否为该栈的弹出顺序。假设压入栈的所有数字均不相等。例如：

压入序列：1, 2, 3, 4, 5
弹出序列1：4, 5, 3, 2, 1 → 合法
弹出序列2：4, 3, 5, 1, 2 → 不合法

算法解析

让我们先仔细阅读并分析代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
void Stack(){const int maxn=1e5+10;int n,pushed[maxn],poped[maxn];stack<int> s;cin>>n;for(int i=0;i<n;i++) cin>>pushed[i];for(int i=0;i<n;i++) cin>>poped[i];int i=0;for(int j=0;j<n;j++){if(!s.empty()&&s.top()==poped[j]){s.pop();continue;}while(i<n&&pushed[i]!=poped[j]) s.push(pushed[i++]);if(i==n){cout<<"No"<<endl;return;}i++;}cout<<"Yes"<<endl;return;
}
int main(){int q;cin>>q;while(q--) Stack();return 0;
}

代码结构分析

‌头文件与命名空间‌：使用了#include<bits/stdc++.h>包含所有标准库，并使用了using namespace std简化代码。
‌Stack函数‌：这是核心功能实现函数。
- 定义了两个数组pushed和poped分别存储压入和弹出序列
- 使用STL的stack<int>作为辅助数据结构
- 读取输入数据后，进行序列验证
‌main函数‌：处理多组测试用例。

算法核心逻辑

算法的主要思路是模拟实际的栈操作过程：

初始化一个空栈和两个指针i,j分别指向压入序列和弹出序列的起始位置。
对于弹出序列中的每个元素poped[j]：
- 首先检查栈顶元素是否等于poped[j]，如果是则弹出并处理下一个弹出元素
- 如果不是，则从压入序列中按顺序将元素压入栈，直到找到poped[j]或压入序列耗尽
- 如果压入序列耗尽仍未找到匹配元素，则判定为非法序列
如果所有弹出元素都能按上述规则处理完，则判定为合法序列。

时间复杂度分析

该算法的时间复杂度为O(n)，其中n是序列的长度。因为每个元素最多被压入和弹出栈各一次。

空间复杂度也是O(n)，最坏情况下需要存储整个压入序列。

算法正确性证明

为了证明这个算法的正确性，我们需要从两个方面考虑：

‌充分性‌：如果算法判定为"Yes"，则弹出序列确实是合法的。
- 算法通过模拟实际的栈操作来验证序列，每一步都严格遵循栈的LIFO原则
- 只有当能够按照给定顺序弹出所有元素时才会返回"Yes"
‌必要性‌：如果弹出序列是合法的，算法一定会判定为"Yes"。
- 对于任何合法序列，都存在一个压入和弹出的操作序列
- 我们的算法会尝试找到这样的操作序列，如果存在则一定能找到

实际应用场景

这个算法不仅仅是一个理论练习，它在许多实际场景中都有应用：

‌编译器设计‌：验证函数调用和返回的顺序是否正确
‌文本编辑器‌：验证括号匹配、HTML标签嵌套等
‌撤销操作实现‌：确保操作撤销的顺序符合预期
‌浏览器历史记录‌：验证前进后退操作的合法性

代码优化与改进

虽然给出的代码已经相当高效，但我们还可以考虑一些改进：

‌输入输出优化‌：对于大规模数据，可以使用更快的IO方式
‌错误处理‌：增加对输入数据合法性的检查
‌代码可读性‌：添加适当的注释和变量命名
‌内存使用‌：对于极大数组，考虑动态分配或使用vector

改进后的代码可能如下：

#include <iostream>
#include <stack>
#include <vector>
using namespace std;bool isPopOrderValid(const vector<int>& pushed, const vector<int>& popped) {stack<int> st;int pushIdx = 0;for (int num : popped) {// 如果栈顶元素匹配当前弹出元素，直接弹出if (!st.empty() && st.top() == num) {st.pop();continue;}// 否则从压入序列中寻找该元素while (pushIdx < pushed.size() && pushed[pushIdx] != num) {st.push(pushed[pushIdx++]);}// 如果压入序列耗尽仍未找到，返回falseif (pushIdx == pushed.size()) {return false;}// 跳过找到的元素（相当于压入后立即弹出）pushIdx++;}return true;
}int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);int q;cin >> q;while (q--) {int n;cin >> n;vector<int> pushed(n), popped(n);for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> pushed[i];for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> popped[i];cout << (isPopOrderValid(pushed, popped) ? "Yes" : "No") << endl;}return 0;
}

算法可视化

为了更好地理解这个算法，让我们通过一个具体的例子进行可视化：

‌压入序列‌：[1, 2, 3, 4, 5]
‌弹出序列‌：[4, 5, 3, 2, 1]

执行步骤：

期望弹出4：
- 栈为空，开始压入直到找到4
- 压入1,2,3 → 栈：[1,2,3]
- 找到4，压入后立即弹出 → 栈：[1,2,3]
期望弹出5：
- 栈顶3≠5，继续压入
- 压入5 → 栈：[1,2,3,5]
- 栈顶5=5，弹出 → 栈：[1,2,3]
期望弹出3：
- 栈顶3=3，直接弹出 → 栈：[1,2]
期望弹出2：
- 栈顶2=2，直接弹出 → 栈：[1]
期望弹出1：
- 栈顶1=1，直接弹出 → 栈：[]

所有元素成功弹出，序列合法。

边界条件考虑

在实现这类算法时，必须考虑各种边界条件：

‌空序列‌：两个空序列应该被认为是合法的
‌单元素序列‌：只有一个元素时，压入和弹出序列必须相同
‌完全逆序‌：弹出序列正好是压入序列的逆序
‌完全相同‌：弹出序列与压入序列完全相同（每次压入后立即弹出）
‌不匹配序列‌：明显不可能由栈操作得到的序列

数学角度分析

从数学角度看，这个问题可以转化为‌栈排序‌问题。合法的弹出序列实际上是压入序列的一个排列，满足一定的约束条件。

对于长度为n的压入序列，合法的弹出序列的数量等于第n个‌卡特兰数‌(Catalan number)：

Cₙ = (1/(n+1)) * (2n choose n)

例如：
n=1: 1种
n=2: 2种
n=3: 5种
n=4: 14种
...

这表明随着n增大，合法序列的比例迅速下降。

递归解法

除了迭代解法，这个问题也可以用递归解决：

bool isPopOrderValidRecursive(const vector<int>& pushed, const vector<int>& popped, int pushIdx, int popIdx, stack<int>& st) {if (popIdx == popped.size()) {return true;}if (!st.empty() && st.top() == popped[popIdx]) {st.pop();return isPopOrderValidRecursive(pushed, popped, pushIdx, popIdx + 1, st);}while (pushIdx < pushed.size() && pushed[pushIdx] != popped[popIdx]) {st.push(pushed[pushIdx++]);}if (pushIdx == pushed.size()) {return false;}return isPopOrderValidRecursive(pushed, popped, pushIdx + 1, popIdx + 1, st);
}

递归解法虽然直观，但对于大规模数据可能会有栈溢出的风险，迭代解法更为实用。

多语言实现

为了加深理解，我们可以看看其他编程语言中的实现：

‌Python实现‌：

def is_pop_order(pushed, popped):stack = []push_idx = 0for num in popped:if stack and stack[-1] == num:stack.pop()continuewhile push_idx < len(pushed) and pushed[push_idx] != num:stack.append(pushed[push_idx])push_idx += 1if push_idx == len(pushed):return Falsepush_idx += 1return True

‌Java实现‌：

import java.util.Stack;public class Solution {public boolean isPopOrder(int[] pushed, int[] popped) {Stack<Integer> stack = new Stack<>();int pushIdx = 0;for (int num : popped) {if (!stack.isEmpty() && stack.peek() == num) {stack.pop();continue;}while (pushIdx < pushed.length && pushed[pushIdx] != num) {stack.push(pushed[pushIdx++]);}if (pushIdx == pushed.length) {return false;}pushIdx++;}return true;}
}