不同视角理解三维旋转
在二维空间中，绕任意点旋转可以分解为：
1）平移旋转点到原点，2）绕原点旋转，3）逆平移旋转点；
可用矩阵表示为
，
其中，
表示绕原点旋转
，
为平移矩阵。
在三维空间中绕任意轴旋转一个对象，可以分解为分别绕不同轴旋转一定角度。
1 绕三维坐标轴旋转
设 x,y,z 为三个正交方向上的单位向量，将他们构成三维空间坐标需要满足以下叉乘关系：
；
定义绕各个坐标轴旋转方向如下图：
当任意点绕 Z 轴旋转时，该点在 Z 轴上坐标保持不变，在 X,Y 轴上坐标轴上退化为二维旋转，如下图所示：
由
得
，
由
得
，
最终得：
，其中矩阵变换表示为：
；
同理， 绕 X 轴旋转表示为：
，绕 Y 轴旋转表示为：
。
当对任意点旋转
后再旋转
，该点回到原始位置，则旋转矩阵
是旋转矩阵
得逆矩阵，观察以上旋转矩阵可知
。
2 绕过原点任意单位向量轴旋转
当旋转轴为过原点任意轴时，可使用如下方案旋转：
1）旋转对象使得旋转轴与某一坐标轴重合；
2）绕该坐标轴旋转；
3）使用逆旋转使旋转轴回到原始方向；
使用矩阵表示为：
。
如上图所示，u=(a,b,c) 为任意过原点旋转轴，
。要旋转 u 使其与 z 轴重合，首先需将 u 轴旋转到 xz 平面。
将 u 投影到 yz 平面得
，在 yz 平面上将
旋转 到 z 轴的旋转角等于将 u 绕 x 轴旋转到 xz 平面。
根据余弦定理得：
。
利用向量叉乘求正弦：
，
，
求解得：
。这里不使用
求解是因为该公式无法确定计算结果符号。
使用矩阵形式表示 u 绕 x 轴旋转
：
，旋转后向量为：
。
绕 y 轴旋转到 z 轴上的旋转角余弦为：
。
利用向量叉乘求正弦：
，
，
。
使用矩阵形式表示
绕 y 轴旋转
：
。
当将任意单位坐标做旋转到与 z 轴重合后，使用以下矩阵完成真实旋转：
。
然后使用逆旋转矩阵还原原始坐标（逆旋转矩阵为对应旋转矩阵的转置矩阵），实现绕任意过原点单位向量旋转。
3 罗德里格斯公式
使用罗德里格斯公式，同样可以实现绕过原点任意单位向量旋转，详细讲解在 使用罗德里格斯公式描述三维旋转_rodriguez formula的引用-CSDN博客。
该方法最终推导出了旋转矩阵为：
，
。
理论上来说，以上两种方案推导出的旋转矩阵应该是一致的（旋转轴与旋转角度一致情况下）。
4 引入平移
当旋转轴不过原点时，可以引入平移矩阵实现绕任意轴旋转。
假设旋转轴过点
，
，
，
首先构造单位长度旋转轴向量为：
，
构造平移矩阵为：
，
旋转矩阵
被改写为：
，
旋转轴为以上单位旋转向量，从而实现了绕任意轴旋转。
在罗德里格斯公式中，采用同样方式构造绕任意轴旋转矩阵为：
。
5 四元数描述旋转
1）四元数概念
四元数是复数到高维扩充，定义为
，
。
将四元数表示成向量
，
定义四元数加法为
，
等价于
。
定义四元数乘法为
。
由于四元数平方和为
，可定义四元数的逆为
，使得
成立。
2）描述旋转轴为过原点任意单位向量的旋转
为旋转轴单位向量，定义
，
则任意点 p = (x,y,z) 被描述为
，旋转后点为
，
使用公式
可计算出 p 点旋转后坐标
。
使用四元数计算规则可得
，
由于
，有
，
。
引入向量 v 的叉积矩阵
，上式可改写为：
，实现 p 到
旋转变换。
3）与罗德里格斯公式关系
令旋转轴为单位向量(x,y,z)，旋转角度为
，旋转四元数定义为
；
根据三角函数有
，
，
罗德里格斯公式改写为
，
由于
，可定义
，
进一步改写罗德里格斯公式
，
最终整理结果为
；
将
整理成矩阵形式，其结果与罗德里格斯整理矩阵一致，因此验证了两种方式是一致的。