关于数学函数和数据类型扩展的详细讲解（从属GESP二级）

本章内容

数学函数使用

数据类型扩展全解

让库函数做繁重算术，让你专注灵感与逻辑 —— 代码如诗，分数自来！

一、数学函数使用

1 📚 函数族全景图

功能	C 头文件	C++ 推荐头文件	主要原型(最常考)	等价/重载 & 备注
绝对值	<stdlib.h>	<cstdlib> / <cmath>	int abs(int)	long labs(long) 、long long llabs(long long)；在 <cmath> 里还有浮点重载：double abs(double) / float abs(float) / long double abs(long double)，本质调用 fabs
浮点绝对值	<math.h>	<cmath>	double fabs(double)	也有 float fabsf(float)，long double fabsl(long double)
平方根	<math.h>	<cmath>	double sqrt(double)	float sqrtf(float) 、long double sqrtl(long double)
取整 (四舍五入)	<math.h>	<cmath>	double round(double)	同族：floor(向下取整)、ceil(向上取整)、trunc(去尾) ——虽然大纲不必死记，但偶尔出题
最大\最小	<stdlib.h> (宏)	<algorithm>	template<class T> T max(T a,T b);	min(a,b)   完整有三参版：max({a,b,c}) C++11 起支持 initializer_list
随机数	<stdlib.h>	<cstdlib>	int rand() / void srand(unsigned)	C++11 可用 <random> 真随机； 但二级考试统一考 rand()

万能头 vs 标准头

• • #include <bits/stdc++.h> 在 OJ / 考试环境可直接用，但记住对应正式头文件，万一机考不支持万能头能立刻拆分。
• • 凡是浮点函数，“返回 double”是核心考点——特别是填空题会用“返回类型”来卡分。

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2 🔬 语义＋类型陷阱深挖

2.1 abs / fabs / std::abs

输入	可能返回	潜在坑
int (-2147483648)	未定义 → 溢出	题目爱考：abs(INT_MIN) 不安全，结果仍是负数
double (-3.7) 用 abs	3 → 被隐式截断！(double→int 调用 abs(int) 版)	只能 fabs(-3.7) 或 std::abs(-3.7)
三目运算自己写 x<0?-x:x	溢出同上	建议优先库函数

真题·判断：“abs(-3.2) 的结果是 3.2” → 错（3）

2.2 sqrt

常考点 = 浮点误差 + 非负判定

double r = sqrt(16);          // 4.0
bool ok = (sqrt(10)*sqrt(10) == 10);  // 可能 false

真题·单选：“若 x 为 double，表达式 sqrt(x)*sqrt(x)==x 恒为真吗？” → 否，要用 fabs(...)<1e-9。

2.3 round / floor / ceil / trunc

函数	3.2 →	-3.2 →	易混点
round	3	-3	“四舍五入到最近整数”
floor	3	-4	“向下” ⟹ 不一定绝对值增大
ceil	4	-3	“向上” ⟹ 不一定绝对值增大
trunc	3	-3	丢掉小数部分

补充：大纲主考 round，但 2024-12 卷出现“floor 的返回值是 ___？”的填空，一旦见到要能秒答。

2.4 max/min

• • 宏污染：若先 #define max（某些旧库），std::max 会被替换导致编译错。写题时养成加 std:: 前缀。
• • 三参：max({a,b,c}) (C++11)；或两层：max(max(a,b),c)——这个写法经常出现在填空题里考“括号匹配”。

2.5 rand / srand

1. 1. rand() 范围：0 ~ RAND_MAX (常为 32767)
2. 2. 均匀映射方案：

• • • [0,k-1] → rand()%k
  • • [1,k] → rand()%k+1
  • • [l,r] → rand()%(r-l+1)+l

1. 3. 种子只调一次：srand(static_cast<unsigned>(time(nullptr)));
2. 4. 概率题常考：生成 1000 次模拟骰子；或判断 (rand()%2) 得到 0/1 概率是否均为 0.5。

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3 🔧 真题级“套路”拆解

类型	题型原句(缩写)	考点	速答
单选	“以下表达式值为 5 的是？” 选项有 round(4.6)	四舍五入	5
判断	“调用 sqrt(-1) 会返回 NaN”	运行结果	对；且会 domain error
填空	“生成 1–100 随机整数: rand()% ___ +1”	模 ±1	100
选择	“以下选项能比较浮点 a 与 b 是否几乎相等”	绝对误差	fabs(a-b)<=1e-6
编程	“输入 n，输出 1 ~ n 中绝对值 ≤ 2 的整数平方根之和（保留2位）”	abs +sqrt+格式化	cout<<fixed<<setprecision(2)

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4 🛠 实战模板 & 扩展技巧

4.1 统一随机函数封装

int rng(int l, int r) {            // 闭区间 [l,r]return rand() % (r - l + 1) + l;
}

• • 编译器常量折叠考点：如果 l、r 为字面值，考题会问“此函数返回值个数是 ___ ？”答案= r-l+1。

4.2 快速近似比较

bool equal(double a,double b,double eps=1e-9){return fabs(a-b)<=eps;
}

• • 真题曾考：“eps 默认值放在 .h 文件里是否可行？” → 可行，只要声明与定义保持一致。

4.3 整数平方判定（≥ 1e9 安全版）

bool isSquare(long long x){long long r = (long long)(sqrt((long double)x)+0.5); // 先转 long double, +0.5 抗误差return r*r==x;
}

• • 填空题爱出 +0.5 的用途：减少浮点误差。

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5 📝 “加一级难度”练习

1. 1. 随机打乱

读入 n (< 100) 个整数，要求随机输出其一个全排列。
提示：用 std::shuffle(v.begin(),v.end(),std::default_random_engine(time(0)))；若局限 rand()，可写 Fisher-Yates：

1. for(int i=n-1;i>0;--i) swap(v[i],v[rng(0,i)]);
2. 2. 开根误差

输入整数 k (1≤k≤10^6)，输出最小 n 使 sqrt(n) 的小数部分≥ 0.999。
提示：

1. while(true){ n++; double z=sqrt(n); if(z-floor(z)>=0.999) break; }
2. 3. 比赛评分

7 个评委打分(浮点)，去掉最高与最低后取平均；要求四舍五入到 1 位小数。
提示: round(sum/5*10)/10 or cout<<fixed<<setprecision(1)

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6 ⚠ 容易丢分的 4 件小事

1. 1. 忘记 std:: 命名空间

• • • 选择题经常放选项 max(a,b)、std::max(a,b)，考哪一个能编译。

1. 2. 类型提升陷阱

• • • abs(a-b)<=0.1 若 a,b 为 int，表达式恒 0/1；要保证它们是 double。

1. 3. rand() 取模偏差（进阶）

• • • 当 RAND_MAX 不能被 (r-l+1) 整除，大数据模拟会产生轻微偏斜。二级通常不深究，但加分题可能问。

1. 4. sqrt 输入负数

• • • 行为未定义，在线判题常直接 nan；考试机考选择题会给 domain error。

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🗂️ 二、数据类型扩展全解

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1 🌳 数据类型家族速览

类别	关键成员	关键词/后缀	必考点
整型	char 、short、int、long、long long	补语：signed / unsigned；字面量后缀：U、L、LL	字节数、范围、溢出规则
字符	char / char8_t† / char16_t / char32_t / wchar_t	字面量前缀：u8'字'、u'字'、U'字'、L'字'	Unicode 扩展、宽字符 I/O
浮点	float 、double、long double	字面量后缀：f / F / l / L	精度、舍入误差、epsilon
布尔	bool	常量：true / false	与整型的隐式转换
枚举	enum {…} 、enum class {…}	位域、作用域限定	枚举到整型的提升
特殊	void 、std::nullptr_t	空类型、空指针常量	只能做指针转换
C99 定宽	int8_t 、uint64_t…	头文件 <cstdint>	容易在填空题出现

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2 🧩 整型版图 —— 字节、范围、陷阱

2.1 统一表格

关键字	最小宽度†	考试机器(64-bit GCC)	常见范围 (十进制)
signed char	8 bit	1 byte	−128 ~ 127
unsigned char	8 bit	1 byte	0 ~ 255
short / short int	16	2 bytes	−32768 ~ 32767
unsigned short	16	2 bytes	0 ~ 65535
int	16	4 bytes	−2 147 483 648 ~ 2 147 483 647
unsigned int	16	4 bytes	0 ~ 4 294 967 295
long	32	8 bytes(LLP64*例外)	约 ±9.22e18
long long	64	8 bytes	同上
unsigned long long	64	8 bytes	0 ~ 1.84e19

2.2 溢出规则

场景	行为	真题套路
有符号整型溢出	未定义 （UB）	判断题：“int a=INT_MAX; a++; 结果为 INT_MIN” → 错 (UB)
无符号溢出	按 2^n 取模	单选：“unsigned char c=255; c++ 等于 ___” → 0
混合运算提升	先提升到 int/unsigned	填空：char c=-1; int x= c; → −1 (若 char 有符号)

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3 🔬 浮点精度与比较

类型	字节	有效十进位	典型 ε (numeric_limits<T>::epsilon())
float	4	6 ~ 7	1.19e-7
double	8	15 ~ 16	2.22e-16
long double (x86-64)	16(10)	18 ~ 19	1.08e-19

• • 比较模板：

bool d_equal(double a,double b,double eps=1e-9){return std::fabs(a-b)<=eps;
}

• • 真题暗雷

“double s = 0.1+0.2; printf("%.17f",s); 输出不等于 0.300000…”
考点：二进制小数误差；调 setprecision(17) 看到 0.30000000000000004。

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4 📝 字面量与后缀

写法	推导类型	备注
42	int	最短类型能装就选
42u / 42U	unsigned int	真题常让填 u
42l / 42L	long
42ll / 42LL	long long
0x1'F3 (C++14)	int 十六进制，撇号可分隔	数字可读性
3.14	double	默认双；千万别默认为 float
3.14f / 3.14F	float
3.14L	long double	windows x64 仍 8 bytes

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5 📦 sizeof、decltype、auto

int  a = 5;
long b = 6;
cout << sizeof(a) << sizeof 'A';   // 4 1 (单引号为 char)
auto  c = a + b;                   // c 推为 long
decltype(a+b) d;                   // 与 c 同型

填空常问：sizeof(0ULL) -> 8；sizeof "abc" -> 4 (含终止 0)。

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6 🎨 枚举与 enum class

enum Color { RED, GREEN=5, BLUE };       // 隐式转 int
enum class Dir : unsigned char { N,S,E,W }; // 强作用域 + 自定底层

考点	题型	速解
隐式提升	“Color c=RED; int x=c;” 合法？ → 合法	普通 enum
作用域	“Dir d=Dir::N; cout<<d; 编译错” → 对	无流插；需显式强转

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7 ⚙️ typedef vs using

typedef unsigned long ull;
using  ull2 = unsigned long;

• • 选择题常抛 using，问两者是否等价 ➟ 等价。
• • 模板别名只能用 using：template<class T> using vec = std::vector<T>;

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8 🚧 真题高频坑位

关键词	坑点	记忆法
char 默认符号性	signed or unsigned 平台相关	考卷若问范围，答“依实现，通常 −128~127”
整数提升	unsigned short + int → int ?	先都升至 int，再运算
移位超位宽	1<<32 在 32-bit UB	题目若给 x<<31 需看 int 还是 unsigned
布尔加减	bool b=true; cout<<b+5; → 6	true→1, false→0
结构体对齐	机考编程：sizeof(struct{char c;int x;}) → 8(或12/16)	末尾对齐到最大成员

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9 🛠️ 练手 mini-task

1. 1. 打印各基本类型字节数：写一行循环 cout<<typeid(T).name()<<...。
2. 2. 安全读取宽字符：输入 UTF-8，存入 std::u32string，统计码点数。
3. 3. 模拟无符号溢出计数器：uint8_t t=250; for(int i=0;i<10;++i) cout<<(int)(t++); 📈

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三、精选选择题（10题）

✅ 1. 【数学函数使用 · 真题】

题目：在 C++ 中，下面哪条语句最适合连续 5 次正确生成 1 到 10 之间的随机整数？
A. rand() % 11 B. rand() % 10
C. rand() % 10 + 1 D. rand() % 9 + 1
答案：C
解析：rand() 产生 0 – RAND_MAX 的伪随机数，先 % 10 得到 0 – 9，再 + 1 即可映射为 1 – 10。
【出自：25 年 3 月题 14】

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✅ 2. 【数学函数使用 · 真题】

题目：若 a、b 均为 float，要判断它们“几乎相等”（误差 ≤ 0.000001）应选用：
A. (b-a) < 0.000001 B. (b-a) <= 0.000001
C. abs(b-a) <= 0.000001 D. sqrt(b-a) <= 0.000001
答案：C
解析：浮点数可能一大一小，必须取 “距离” abs(b-a)；误差范围采用 ≤。
【出自：25 年 3 月题 15】

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✅ 3. 【数学函数使用 · 真题】

题目：下列 4 个表达式中，结果不是整数 8 的是：
A. abs(-8) B. min(max(8, 9), 10)
C. int(8.88) D. sqrt(64)
答案：B
解析：max(8, 9) 得 9，随后 min(9, 10) 仍为 9；其余三个都等于 8。
【出自：24 年 3 月题 5】

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✅ 4. 【数学函数使用 · 真题】

题目：下面哪行代码能在 1-100 之间找出所有完全平方数（如 16 是 4²）？
A.int(sqrt(i))*int(sqrt(i)) = i
B.int(sqrt(i)) == sqrt(i)
C.int(sqrt(i))*int(sqrt(i)) == i
D.int(sqrt(i)) = sqrt(i)
答案：C
解析：对i开平方后再平方，与原数相等即可判定i为完全平方数；需两侧均为表达式，且用比较运算符==。
【出自：23 年 12 月题 11】

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✅ 5. 【数据类型扩展 · 真题】

题目：若 char a保存某字符，下列哪一表达式可以判断a是否为数字字符？
A.'0' <= a && a <= '9' B.'1' <= a && a <= '0'
C.'0' <= a <= '9' D.'1' <= a <= '0'
答案：A
解析：字符本质是整数（ASCII），用区间比较最安全；'0'–'9'连续。
【出自：23 年 6 月题 12】

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✅ 6. 【数据类型扩展 · 真题】

题目：若 char a = 'C'; 下面 C++ 语句 cout << (a + 2); 的输出是：
A. E B. C+2 C. C2 D. 69
答案：D
解析：'C' 的 ASCII 是 67；字符参与算术先提升为 int，a + 2 是 69，按整数格式输出。
【出自：23 年 6 月题 10】

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✅ 7. 【数据类型扩展 · 真题】

题目：a、b、c、d 全为 int，求它们平均值应写：
A. (a+b+c+d)/4 B. (a+b+c+d)%4
C. (a+b+c+d)/4.0 D. (a+b+c+d)%4.0
答案：C
解析：若除数是整数 4 则仍做整数除法；加上 .0 让表达式晋升为浮点，得到精确均值。
【出自：23 年 3 月题 8】

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✅ 8. 【数据类型扩展 · 真题】

题目：C++ 表达式 int(-123.123 / 10) 的值是：
A. -124 B. -123 C. -13 D. -12
答案：D
解析：-123.123 / 10 ≈ -12.3123，向 0 截断得到 -12。
【出自：23 年 9 月题 5】

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✅ 9. 【数据类型扩展 · 真题】

题目：在 C++ 中，下面哪条语句能直接取得正整数 N 的个位数字？
A. N % 10 B. N / 10 C. N && 10 D. 以上都不行
答案：A
解析：模运算 % 得到除以 10 的余数，即个位。
【出自：24 年 9 月题 7】

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✅ 10. 【数据类型扩展 · 真题】

题目：执行 cout << (5 / 2 + 5 % 3); 的输出是：
A. 1 B. 2 C. 4 D. 5
答案：C
解析：5/2 做整除得 2，5%3 得 2，总和 2+2=4。
【出自：24 年 9 月题 5】

三、精选判断题（10题）

✅ 1. 【数学函数使用·真题】

题目：在 C++ 代码中，若 N 为正整数，则表达式 N - N / 10 * 10 与 N % 10 得到的结果始终相同。
答案：对
解析：N / 10 进行整数除法去掉个位后再反推，可得到与取模 % 10 完全相同的余数。
【出自：25 年 3 月判断题】

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✅ 2. 【数学函数使用·真题】

题目：对任何正整数 N，判断式 (sqrt(N) * sqrt(N)) == N 一定返回 true。
答案：错
解析：sqrt 返回 double，两次浮点运算会引入误差，比较结果并非总为真。
【出自：25 年 3 月判断题】

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✅ 3. 【数据类型·真题】

题目：若 double x = 16.44;，执行 cout << x / 10; 时输出结果固定为 1。
答案：错
解析：x / 10 为 1.644（double 型），不会被截断为整数 1。
【出自：24 年 6 月判断题】

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✅ 4. 【数据类型·真题】

题目：执行

int N = 10;
cout << N / 4 << "->" << N % 4 << "->" << N / 4.0;

输出应为 2->2->2.0。
答案：错
解析：最后一次除数为 4.0 会晋升为浮点运算，结果是 2.5，因此实际输出 2->2->2.5。
【出自：24 年 6 月判断题】

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✅ 5. 【数据类型·判断】

题目：表达式 ('0' <= ch && ch <= '9') 能正确判断字符 ch 是否为数字字符。
答案：对
解析：字符在算术比较中按 ASCII 值参与运算，数字区间 '0'–'9' 连续，用区间判断最安全。
【出自：23 年 6 月选择题改编】

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✅ 6. 【数据类型】

题目：若 char c = 'C';，执行 cout << (c + 2); 将输出字符 E。
答案：错
解析：'C' 的 ASCII 为 67，c + 2 先提升为 int，结果 69，以整数形式输出而非字符。
【出自：23 年 6 月选择题改编】

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✅ 7. 【数据类型】

题目：在 C++ 中，表达式 (a + b + c + d) / 4 能得到四个 int 数的精确平均值（含小数部分）。
答案：错
解析：除数为整数 4，整体做整数除法，小数部分被截掉；需写 / 4.0 才能保留小数。
【出自：23 年 3 月选择题改编】

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✅ 8. 【数据类型】

题目：C++ 表达式 int(-123.123 / 10) 的计算结果为 -12。
答案：对
解析：-123.123 / 10 ≈ -12.3123，强转 int 向 0 截断，结果为 -12。
【出自：23 年 9 月选择题改编】

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✅ 9. 【数学函数使用】

题目：rand() % 10 + 1 可以生成的随机整数范围是 1 – 10（含 10）。
答案：对
解析：rand() % 10 得 0 – 9，再 + 1 映射为 1 – 10。
【出自：25 年 3 月选择题改编】

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✅ 10. 【数据类型】

题目：在 C++ 代码中，表达式 N % 10 可以用来获取正整数 N 的个位数字。
答案：对
解析：取模 % 10 保留除以 10 后的余数，即个位数。
【出自：25 年 3 月判断题】