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《高等数学》(同济大学·第7版)第五章 定积分 第四节反常积分

以下是转换为纯文本的内容:


同学们好!今天我们学习《高等数学》第五章第四节"反常积分"。反常积分是定积分的推广,用于解决积分区间无限或被积函数无界的"异常"积分问题。

一、为什么需要反常积分?定积分的局限性

定积分∫(a到b)f(x)dx的定义要求:

  1. 积分区间[a,b]是有限的
  2. 被积函数f(x)在[a,b]上有界

但实际问题中常遇到两类异常情况:

  • 积分区间无限(如∫(0到+∞)e⁻ˣdx)
  • 被积函数无界(如∫(0到1)1/√x dx)

这类问题需要引入反常积分(广义积分)。

二、反常积分的定义

反常积分分为两类:

  1. 无穷限反常积分(积分区间无限)
    ∫(a到+∞)f(x)dx = lim(t→+∞)∫(a到t)f(x)dx
    若极限存在则收敛,否则发散。

类似定义:
∫(-∞到b)f(x)dx = lim(t→-∞)∫(t到b)f(x)dx
∫(-∞到+∞)f(x)dx = ∫(-∞到c)f(x)dx + ∫(c到+∞)f(x)dx

  1. 无界函数的反常积分(瑕积分)
    若f(x)在[a,b]上无界,x₀为瑕点:
    ∫(a到b)f(x)dx = lim(ε→0⁺)∫(a到x₀-ε)f(x)dx + lim(δ→0⁺)∫(x₀+δ到b)f(x)dx

例子:∫(0到1)1/√x dx
x=0是瑕点:
lim(ε→0⁺)∫(ε到1)1/√x dx = lim(ε→0⁺)(2-2√ε) = 2(收敛)

三、反常积分的计算

  1. 无穷限反常积分计算步骤:
    (1) 写极限形式
    (2) 计算定积分
    (3) 求极限

例子:∫(0到+∞)e⁻ˣdx
= lim(t→+∞)∫(0到t)e⁻ˣdx
= lim(t→+∞)(1-e⁻ᵗ) = 1(收敛)

  1. 无界函数反常积分计算步骤:
    (1) 确定瑕点
    (2) 写极限形式
    (3) 计算定积分并求极限

例子:∫(0到1)1/x² dx
x=0是瑕点:
lim(ε→0⁺)∫(ε到1)1/x² dx = lim(ε→0⁺)(-1+1/ε) = +∞(发散)

四、反常积分的收敛性判断

  1. 无穷限反常积分:
  • 比较判别法:若|f(x)|≤g(x)且∫g(x)dx收敛,则∫f(x)dx收敛
  • 极限比较判别法:若lim(x→+∞)f(x)/g(x)=L>0,则∫f(x)dx与∫g(x)dx同敛散

例子:∫(1到+∞)1/x² dx
p=2>1,收敛

  1. 无界函数反常积分:
  • 比较判别法:若|f(x)|≤C/(x-x₀)ᵖ(p<1),则收敛

例子:∫(0到1)1/√x dx
p=1/2<1,收敛

五、反常积分的意义与应用

  1. 描述无限过程(如放射性衰变)
  2. 处理无界区域(如曲线y=1/x的面积)
  3. 概率统计(如正态分布积分)

六、课堂练习

练习1:计算∫(0到+∞)1/(x+1)² dx
解答:
= lim(t→+∞)∫(0到t)1/(x+1)² dx
= lim(t→+∞)(-1/(t+1)+1) = 1

练习2:判断∫(-1到1)1/x² dx是否收敛
解答:
x=0是瑕点:
∫(-1到0)1/x² dx = lim(ε→0⁻)(-1/ε-1) = +∞(发散)

七、总结

反常积分关键点:

  1. 理解两类反常积分的定义
  2. 掌握计算方法(转化为极限)
  3. 会用比较判别法判断收敛性

http://www.lqws.cn/news/476947.html

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