用Tensorflow进行线性回归和逻辑回归(三)

3.激活函数

有很多激活函数处理神经元的输出。激活函数

应该是什么呢？答案是，不重要。当然不完全是真的。明显还是有点重要， 只不过没有你想象的那么重要。几乎任何形式的函数（单调的，平滑的）就行。多年来试过许多不同的函数。尽管一些比另一些工作得更好，但是都能得到想要的结果。记住：激活函数只不过是数学函数用来转换 z 到输出 yˆ 。我们看一下最常用的。

Identity函数

这是你可以使用的最基本的函数。通常它记为I(z).它不变的返回输入值。数学上我们有

f (z ) = I (z ) = z

这个简单的函数在讨论线性回归时派上用场。图3-6是它看起来的样子.

图3-6. identity函数

用 Python的 numpy实现 identity函数很简单.

#List3-3

def  identity(z): return z

Sigmoid函数

这是返回0 到 1之间的值的最常用的函数。它记为σ(z).

                    

它特别的用于必须预测概率作为输出的模型 (记住概率只能取0 到 1之间的值).在图 3-7你看它的形状。注意在Python里,如果 z足够大，测返回 0或 1 (取决于z的符号) 以舍入误差。在分类问题里，我们经常计算 logσ(z) 或 log(1 − σ(z)) ,因此这可能是Python里误差的来源,因这它试图计算 log 0, 而这是没有定义的.例如，你可能开始看到出现 nan当计算损失函数时  (详见后面).我们在后面会看到这种现像的例子。

图 3-7.  sigmoid激活函数是 s-形的函数，取值 从 0到 1

注意    虽然 σ(z)不会超过 0 或 1, 但是在Python编程里,现实很不同.因为非常大的 z (正或负), Python可能修约结果为0或 1.这会给你错误当你为分类计算损失函数时 (后面给你解释和例子) ,因为我们需要计算 log σ(z) 和 log(1 − σ(z)) ,因此, Python 试图计算 log0, 而这是没有定义的.这可能出现，例如，如果你不归一化输入数据，或者你不正确的初始化权重.现在，重要的是要记住 尽管数学上所有的东西好像都受控，但是实现的编程可能很困难。记住调试模型时，损失函数可能会得到nan.

 z的行为可以见图3-7。计算可以用 numpy函数这样写:

#List3-4

s = np.divide(1.0, np.add(1.0, np.exp(-z)))

注意 非常有用的是知道如果我们有两个numpy数组, A 和B, 下面是相等的: A/B 等于 np.divide(A,B), A+B等于 np.add(A,B), A-B 等于np.subtract(A,B), A*B等于 np.multiply(A,B).如果你熟悉面向对象编程，我们说在 numpy里,基本的操作如 /, *, +, 和 -,都是重载的。也要注意所有这四个 numpy操作都是元素级的。

我们可以更可读的形式写sigmoid函数 (最起码对人类可读) 如下:

#List3-5

def sigmoid(z):

s = 1.0 / (1.0 + np.exp(-z)) return s

如我们前面所述, 1.0 + np.exp(-z)等于 np.add(1.0, np.exp(-z)),和 1.0  /  (np.add(1.0,  np.exp(-z)))等于 np.divide(1.0,  np.add(1.0,  np.exp(-z))).

我想让你注意公式的另一点。 np.exp(-z)有 z的维 (通常是向量它的长度等于观察数),而1.0是标量 (一维实体).  Python如何加它们呢?这称为广播。 Python里，对像受一定的约束，将广播更小的数组 (本例是 1.0) 到更大的数组里,以便最后两者有相同的维。本例中, 1.0成为与z有相同维的数组,所有元素数填充为 1.0。这是要理解的重要的概念，它很有用。例如，你不用在数组里变换数值 。Python会为你考虑。其它情况的广播很复杂超出了本书的范围。但是重要的是要知道 Python在后台做一些事情。

Tanh (Hyperbolic Tangent Activation)激活函数

 hyperbolic tangent也是s-shaped曲线取值为 -1到1。

f (z ) = tanh(z )

在图3-8, 你可以看到它的形状。在 Python里,可以很容易的实现,如下:

#List3-6

def tanh(z):

return np.tanh(z)

图 3-8.  tanh (或hyperbolic function) 是 s-形曲线取值从 -1 到 1

ReLU (Rectified Linear Unit) 激活函数

   ReLU激活函数 (图3-9)有下面的公式:

f (z ) = max (0,z )

现在我们来测试一下4种版本的 ReLU函数到它时所需要的时间。运行下面的代码:

#List3-7

x = np.random.random(10**8) print("Method     1:")

%timeit -n10 np.maximum(x, 0, x)

print("Method 2:")

%timeit -n10 np.maximum(x, 0)

print("Method 3:")

%timeit  -n10  x  *  (x  >  0)

print("Method 4:")

%timeit -n10 (abs(x) + x) / 2

The results follow:

Method 1:

2.66  ms  ±  500  μs  per  loop  (mean  ±  std. dev.  of 7  runs, 10  loops  each) Method 2:

6.35  ms  ±  836  μs  per  loop  (mean  ±  std. dev.  of 7  runs, 10  loops  each) Method 3:

4.37  ms  ±  780  μs  per  loop  (mean  ±  std. dev.  of 7  runs, 10  loops  each) Method 4:

1. 1. ms  ±  784  μs  per  loop  (mean  ±  std. dev.  of  7  runs, 10  loops  each)

区别很明显。方法1 的速度为方法 4的4倍。 numpy 库是高度优化的，很多例程用 C语言写的。但是如保有效的编程仍然会有区别并有很大的影响。为什么np.maximum(x, 0, x)要比np.maximum(x, 0)快呢?第一个版本在原位更新 x, 不用创建新的数组。这可以节省很多时间，特别是当数组很大时。如果你不想（或不能）原位更新输入向量, 你仍然要以使用np.maximum(x, 0)版本。

一个实现看起来这样:

#List3-8

def relu(z):

return np.maximum(z, 0)

注意      记住:当优化你的代码时，即便是小的变更都可能会有很大的不同。 在深度学习紡程里，相同的代码块可能重复上百成次或上亿次，所以即便是小的改进对长时间运行都会有大的影响。 花时间优化你的代码是值 得的.

Leaky ReLU

 Leaky ReLU (也称为 parametric rectified linear unit)公式如下

                     

其中 α 是一个参数特别是有 0.01阶.在图3-10,你可以看到 α = 0.05的例子。这个值使 x > 0和 x < 0的区别更明显。通常，使用小的 α，但是测试你的模型需要找到最佳值。

在Python里,你可以这样实现，如果 relu(z)函数已经定义：

#List3-9

def lrelu(z, alpha):

return relu(z) - alpha * relu(-z)

Swish激活函数

最近, Ramachandran, Zopf,和 Le在 Google Brain研究新的激活函数,称为 Swish, 在深度学习领域有很大的作用。它的定义是

f (z ) = zs (b z )

其中β 是可学习参数.在图 3-11,你可以看到这个激活函数找3个参数  β: 0.1, 0.5, 和10.0. 这个团队的研究表明，简单的用Swish替代ReLU 可以改进 ImageNet 的准确率0.9%. 在今天的深度学习领域，那是很大的值。你可以在 ImageNet找到更多信息 www.image-net.org/.

其它激活函数

还有很多别的激活函数，但是很少用。作为参考，下面的额外的一些。列表是很全但只让你知道在开发神经网络时还有很多激活函数可用。

• • • ArcTan

f (z ) = tan-1 z

• • • Exponential Linear unit (ELU)
    • 

Softplus

我们前面介绍了非线性函数σ 为 sigmoidal函数。尽管sigmoidal是全连接网络经典的非线性函数，近年来研究者发现了别的激活函数,有名的rectified linear激活函数(常缩写为 ReLU 或 relu) σ （x） = max（ x, 0）比sigmoidal工作得更好。这种经验观察是基于深度网络的vanishing gradient 问题，对于 sigmoidal 函数，几乎所有输入的斜率为零，结果，更深的网络，梯度为零。对于 ReLU函数，对于更多的输入空间斜率不为零，允许非零的梯度传播。图3-12 说明sigmoidal 和ReLU 激活函数。

图 3-12. Sigmoidal 和 ReLU 激活函数.

最常见的激活函数可能是 rectified linear unit(ReLU),  

 = max（ 0, x）。如果你不能确定使用哪个函数，这个可能是黙认最好的。其它常见的选择是 hyperbolic tangent, tanh （x） , 以及logistic sigmoid,  

 = 1/ （1 + e−x）。这些函数如图 3-13所示。

图 3-13. 三个常见的激活函数: the rectified linear unit, hyperbolic tangent,

和logistic sigmoid.

注意      实践者总是使用两个激活函数: sigmoid和 relu ( relu可能是最常见的). 用这两者，你都可以获得很好的结果，并得到足够复杂的网络架构，都可以逼近任何非线性函数。记住使用tensorflow时,你不用自己实现函数。 tensorflow 已经为你提供了高效的实现。但是知道每个函数的行为以理解什么时候使用它们是重要的。

#List3-10

Numpy版本的激活函数

import numpy as np

import random

import matplotlib.pyplot as plt

import matplotlib as mpl

绘图函数

def myplot(x,y, name, xlab, ylab):

    plt.rc('font', family='arial')

    plt.rc('xtick', labelsize='x-small')

    plt.rc('ytick', labelsize='x-small')

   

    plt.tight_layout()

    fig = plt.figure(figsize=(8, 5))

    ax = fig.add_subplot(1, 1, 1)

   

    plt.tick_params(labelsize=16)

    ax.plot(x, y, ls='solid', color = 'black')

    ax.set_xlabel(xlab, fontsize = 16)

ax.set_ylabel(ylab, fontsize = 16)

绘制激活函数 创建数组 首先创建用于绘制不同的激活函数的数据

x = np.arange(-5,5,0.1)

identity = x

sigmoid = 1.0 / (1.0 + np.exp(-x))

arctan = np.tanh(x)

relu = np.maximum(x, 0)

leakyrelu = relu - 0.05 * np.maximum(-x, 0)

Identity激活函数

myplot(x, identity, 'Figure_1-4', 'z', 'Identity $I(z)$')

Sigmoid激活函数

myplot(x, sigmoid, 'Figure_1-5', 'z', 'sigmoid $\sigma(z)$')

tanh激活函数

myplot(x, arctan, 'Figure_1-6', 'z', r'Hyperbolic Tangent $\tanh(z)$')

ReLU激活函数

myplot(x, relu, 'Figure_1-7', 'z', 'ReLU')

Leaky ReLU激活函数

myplot(x, leakyrelu, 'Figure_1-8', 'z', 'Leaky ReLU')

SWISH激活函数

swish1 = x / (1.0 + np.exp(-0.1*x))

swish2 = x / (1.0 + np.exp(-0.5*x))

swish3 = x / (1.0 + np.exp(-10.0*x))

plt.rc('font', family='arial')

    #plt.rc('font',**{'family':'serif','serif':['Palatino']})

plt.rc('xtick', labelsize='x-small')

plt.rc('ytick', labelsize='x-small')

   

plt.tight_layout()

fig = plt.figure(figsize=(8, 5))

ax = fig.add_subplot(1, 1, 1)

plt.tick_params(labelsize=16)

ax.plot(x, swish1, ls='solid', color = 'black', label=r'$\beta=0.1$')

ax.plot(x, swish2, ls='dashed', color = 'black', label=r'$\beta=0.5$')

ax.plot(x, swish3, ls='dotted', color = 'black', label=r'$\beta=10.0$')

ax.set_xlabel('z', fontsize = 16)

ax.set_ylabel('SWISH activation function', fontsize = 16)

#plt.xlim(0,8)

plt.legend(bbox_to_anchor=(1.05, 1), loc=2, borderaxespad=0., fontsize = 16)

#List3-11

#我们在这里介绍Tensorflow的激活函数。首先从加载必要的库开始。

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

import tensorflow as tf

from tensorflow.python.framework import ops

ops.reset_default_graph()

初始化用于绘图的X的范围值

x_vals = np.linspace(start=-10., stop=10., num=100)

激活函数:

ReLU激活函数

print(tf.nn.relu([-3., 3., 10.]))

y_relu = tf.nn.relu(x_vals)

ReLU-6激活函数

print(tf.nn.relu6([-3., 3., 10.]))

y_relu6 = tf.nn.relu6(x_vals)

Sigmoid激活函数

print(tf.nn.sigmoid([-1., 0., 1.]))

y_sigmoid = tf.nn.sigmoid(x_vals)

Hyper Tangent激活函数

print(tf.nn.tanh([-1., 0., 1.]))

y_tanh = tf.nn.tanh(x_vals)

Softsign激活函数

print(tf.nn.softsign([-1., 0., 1.]))

y_softsign = tf.nn.softsign(x_vals)

Softplus激活函数

print(tf.nn.softplus([-1., 0., 1.]))

y_softplus = tf.nn.softplus(x_vals)

Exponential linear激活函数

print(tf.nn.elu([-1., 0., 1.]))

y_elu = tf.nn.elu(x_vals)

绘制不同的函数

plt.plot(x_vals, y_softplus, 'r--', label='Softplus', linewidth=2)

plt.plot(x_vals, y_relu, 'b:', label='ReLU', linewidth=2)

plt.plot(x_vals, y_relu6, 'g-.', label='ReLU6', linewidth=2)

plt.plot(x_vals, y_elu, 'k-', label='ExpLU', linewidth=0.5)

plt.ylim([-1.5,7])

plt.legend(loc='upper left')

plt.show()

plt.plot(x_vals, y_sigmoid, 'r--', label='Sigmoid', linewidth=2)

plt.plot(x_vals, y_tanh, 'b:', label='Tanh', linewidth=2)

plt.plot(x_vals, y_softsign, 'g-.', label='Softsign', linewidth=2)

plt.ylim([-2,2])

plt.legend(loc='upper left')

plt.show()