《高等数学》（同济大学·第7版）第九章 多元函数微分法及其应用第五节多元函数微分学的几何应用

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同学们好！今天我们通过具体例子+分步拆解，彻底搞懂《高等数学》第九章第五节多元函数微分学的几何应用。重点解决以下问题：

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一、空间曲线的切线与法平面

1. 核心思想

• 空间曲线：用参数方程表示，如 x = x(t), y = y(t), z = z(t)
• 切线：曲线上某点的切线方向由切向量决定，切向量是曲线在该点的导数。
• 法平面：过该点且与切线垂直的平面。

2. 分步计算示例

问题：求螺旋线 x = cos t, y = sin t, z = t 在 t = π/4 处的切线方程和法平面方程。

步骤：

1. 求切向量：
   对参数方程求导，得到切向量分量：
   切向量 T = ( x’(t), y’(t), z’(t) ) = ( -sin t, cos t, 1 )
   代入 t = π/4：
   切向量 T = ( -√2/2, √2/2, 1 )

2. 切线方程：
   切线方程的参数式为：
   (x - x0) / Tx = (y - y0) / Ty = (z - z0) / Tz
   代入点 ( cos(π/4), sin(π/4), π/4 ) = ( √2/2, √2/2, π/4 )：
   (x - √2/2) / (-√2/2) = (y - √2/2) / (√2/2) = (z - π/4) / 1

3. 法平面方程：
   法平面的法向量就是切向量 T，方程为：
   (-√2/2)(x - √2/2) + (√2/2)(y - √2/2) + 1 * (z - π/4) = 0
   化简后：
   (-√2/2)x + (√2/2)y + z = π/4

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二、曲面的切平面与法线

1. 核心思想

• 曲面：可用显式方程 z = f(x, y) 或隐式方程 F(x, y, z) = 0 表示。
• 切平面：曲面上某点的切平面是“最贴近”曲面的平面。
• 法线：过该点且与切平面垂直的直线。

2. 显式曲面的切平面

问题：求曲面 z = x y 在点 (1, 2, 2) 处的切平面方程。

步骤：

1. 求偏导数：
   偏f/偏x = y |在(1,2) = 2, 偏f/偏y = x |在(1,2) = 1
2. 法向量：
   显式曲面的法向量为 n = (-偏f/偏x, -偏f/偏y, 1) = (-2, -1, 1)
3. 切平面方程：
   -2(x - 1) -1(y - 2) + 1(z - 2) = 0 => 2x + y - z = 0

3. 隐式曲面的法线

问题：求曲面 x² + y² + z² = 6 在点 (1, -2, 1) 处的法线方程。

步骤：

1. 求梯度（法向量）：
   梯度∇F = (2x, 2y, 2z) |在(1,-2,1) = (2, -4, 2)
2. 法线方程：
   (x - 1)/2 = (y + 2)/(-4) = (z - 1)/2

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三、两曲面交线的切向量

1. 核心方法

若曲线由两曲面交线给出：
方程组： F(x, y, z) = 0 和 G(x, y, z) = 0
则曲线在某点的切向量为两曲面法向量的叉乘：
切向量 T = ∇F × ∇G

2. 分步计算示例

问题：求曲线 方程组： x² + y² + z² = 6 和 x + y + z = 0 在点 (1, -2, 1) 处的切线方程。

步骤：

1. 求两曲面的梯度：
   • 曲面1： ∇F = (2x, 2y, 2z) |在(1,-2,1) = (2, -4, 2)
   • 曲面2： ∇G = (1, 1, 1)
2. 叉乘得切向量：
   T = i( (-4)*1 - (2)*1 ) - j( (2)*1 - (2)*1 ) + k( (2)*1 - (-4)*1 )
   = i(-4 - 2) - j(2 - 2) + k(2 - (-4))
   = (-6, 0, 6) [注意：-j分量计算时取负号，但结果写成向量分量形式]
3. 切线方程：
   (x - 1)/(-6) = (y + 2)/0 = (z - 1)/6
   （分母为0时，表示该方向无变化，即 y = -2 ）

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四、常见错误与注意事项

1. 方向向量符号

• 切向量和法向量的方向由计算方式决定，例如：
  • 曲面 F(x, y, z) = 0 的法向量是 ∇F，而 -∇F 也是合法法向量，但方向相反。

2. 隐式曲面的梯度

• 隐式方程 F(x, y, z) = 0 的法向量是梯度 ∇F，而非 -∇F，但两种方向均合法。（注：教材或习惯不同，可能规定一种为主，但数学上两者都垂直于切平面）

3. 参数方程的导数

• 若参数方程中某分量导数为0（如 x’(t) = 0），则切线方程中对应分母为0，需用其他分量表示（通常意味着该方向坐标恒定或需用比例关系理解）。

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五、总结与练习

学习重点

1. 参数方程切向量：直接对参数求导 (dx/dt, dy/dt, dz/dt)。
2. 显式曲面法向量： ( -∂f/∂x, -∂f/∂y, 1 )。
3. 隐式曲面法向量：梯度 ∇F = (∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z)。
4. 交线切向量：两法向量叉乘 ∇F × ∇G。