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【数论拆位法】P10308 「Cfz Round 2」Osmanthus|普及+

news 2025/7/1 6:31:52

本文涉及知识点

数论：质数、最大公约数、菲蜀定理
位运算、状态压缩、枚举子集汇总

P10308 「Cfz Round 2」Osmanthus

题目描述

给定一个长度为 $n$ 的序列 $a$ 。

我们定义一次操作为，同时将序列 $a$ 中的每个元素 $a_i$ 替换为 $\bigoplus\limits_{j=1}^i a_j$ （即 $a_1$ 至 $a_i$ 的异或和），其中 $\bigoplus$ 表示按位异或，即 C++ 中的 ^。

现有 $q$ 次有序的修改，每次修改会给定两个整数 $x_i,p_i$ ，表示将 $a_{x_i}$ 的值修改为 $p_i$ 。修改之间并不独立，每次修改会对后续的修改产生影响。

你需要在每次修改后，找到最小的正整数 $t$ ，满足进行 $t$ 次操作后的序列 $a$ 与操作前的序列 $a$ 相同。可以证明一定存在满足要求的正整数 $t$ 。

由于答案可能很大，所以你只需要输出答案对 $10^9+7)$ 取模的结果。

输入格式

第一行输入两个整数 $n, q$ 。

第二行输入 $n$ 个整数，表示给定的序列 $a$ 。

接下来 $q$ 行，每行输入两个整数 $x_i,p_i$ ，表示一次修改。

输出格式

共 $q$ 行，每行输出一个整数，其中第 $i$ 行的整数表示第 $i$ 次修改后，最小的满足要求的正整数 $t$ 对 $10^9+7)$ 取模的结果。

输入输出样例 #1

输入 #1

输出 #1

4
2
1

说明/提示

「样例解释 #1」

第 $1$ 次修改后的序列 $a$ 为 ${3,2,0\}$ ，此时进行 $1$ 次操作后的序列 $a$ 为 ${3,1,1\}$ ，进行 $2$ 次操作后的序列 $a$ 为 ${3,2,3\}$ ，进行 $3$ 次操作后的序列 $a$ 为 ${3,1,2\}$ ，进行 $4$ 次操作后的序列 $a$ 为 ${3,2,0\}$ ，所以最小的满足要求的正整数 $t$ 为 $4$ 。

「数据范围」

对于所有数据， $\le n,q \le 3\times10^5$ ， $\le a_i,p_i \le 10^9$ ， $\le x_i \le n$ 。

只有你通过本题的所有测试点，你才能获得本题的分数。

拆位法

各位分别讨论。
长度为1的序列，永远不变。
长度为2的序列a，如果全部是0，永远不变。如果a[0]是0,永远不变。
否则{ $10,11,10,11\cdots$ } 或{ $\cdots$ }循环。循环长度为2。
下表：x-y表示本单元格有x个a0，本行到当前单元个有y个a0。两个a0异或会抵消，故x和y大于2减去2，最后取值范围{0,1}。

次数	1	长度2	长度3	长度4	长度5	长度6	长度7	长度8
1次	1-1	1-0	1-1	1-0	1-1	1-0	1-1	1-0
2次	1-1	0-1	1-0	0-0	1-1	0-1	1-0	0-0
3次	1-1	1-0	0-0	0-0	1-1	1-0	0-0	0-0
4次	1-1	0-1	0-1	0-1	1-0	0-0	0-0	0-0
5次	1-1	1-0	1-1	1-0	0-0	0-0	0-0	0-0
6次	1-1	0-1	1-0	0-0	0-0	0-0	0-0	0-0
7次	1-1	1-0	0-0	0-0	0-0	0-0	0-0	0-0
8次	1-1	0-1	0-1	0-1	0-1	0-1	0-1	0-1

性质一：某行第一列，x是1，其它列x是0。可能和原始序列相等，否则一定不等，因为 $a_0 \neq 0$ 。
长度1，可能周期1。且周期一定是1的而倍数。
长度2，可能周期2。且周期一定是2的而倍数。
长度3，4，可能周期4,且周期一定是4的而倍数。
长度5，可能周期8,且周期一定是8的而倍数。
猜想一：令删除前缀0后，长度len ,各数字的周期是 $f(len)=2^{\lceil log_2{len}\rceil}$
由于 $n\le 3\times10^5$ ,我们直接用程序演算一下，就可以证明猜想。时间复杂度：O(nlogn)
注意:验证程序无需提交，所以可以超过1秒。

下面讨论a1

次数–	长度1	长度2	长度3	长度4	长度5	长度6
1次	0-0	1-1	1-0	1-1	1-0	1-1
2次	0-0	1-1	0-1	1-0	0-0	1-1
3次	0-0	1-1	1-0	0-0	0-0	1-1
4次	0-0	1-1	0-1	0-1	0-1	1-0
5次	0-0	1-1	1-0	1-1	1-0	0-0
6次	0-0	1-1	0-1	1-0	0-0	0-0
7次	0-0	1-1	1-0	0-0	0-0	0-0
8次	0-0	1-1	0-1	0-1	0-1	0-1

性质三： $a_i$ 周期符合f(len-i)。删除前i列后，表格相同。
性质四：满足f(len)，则一定满足f(len-1)。只有两种情况 $f(len)==f(len-1)，f(len)=2\times f(len-1)$ 都符合。
性质五：各位的len不同，根据性质四，取最大值。同一个二进制位，len也取最大，即 $a_0$ 。

猜想证明：拆分成4个行列相等的表格

请忽略各单元格的y，y方便验算x是否正确。
当 $i > 0$ 时，拆分成4个 $行列都是2^{i-1}的表格$ 。数学归纳法来证明。

当 $1 == i$ 时，下列性质成立。
在这里插入图片描述
性质一：3红色表格一样。
性质二：绿色表格(右下角)全部是0。
性质三：除最后一行外，每行1的数量时偶数。
下面来证明当 $行列2^{i-1}的表格成立，则行列2^{i}的表格也成立$ 。

性质一：左上和左下相同时因为周期是 $2^{i-1}$ 。左上和右上相等，第一行全部是1，其它行是性质三。
性质二：第一行全部为0,因为左上右上最后一行除第0列为1外，全为0。
其它行因为性质二。
性质三：左上右上相同，故1的数量是偶数。
右下全部是0，故下边1的数量就是左下1的数量。

实现

有序集合s记录所有 $\neq 0$ 的i。
如果如果s为空，答案的是f(N)，否则f(N-*s.begin())。
注意：全部为0，也要操作一次，不能操作0次。

代码

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include<array>#include <bitset>
#include <chrono>
using namespace std::chrono;
using namespace std;template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {in >> pr.first >> pr.second;return in;
}template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4, T5>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) ;return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5, class T6 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4, T5, T6>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) >> get<5>(t) ;return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5, class T6, class T7 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4, T5, T6, T7>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) >> get<5>(t) >> get<6>(t);return in;
}template<class T = int>
vector<T> Read() {int n;cin >> n;vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {vector<T> ret;T tmp;while (cin >> tmp) {ret.emplace_back(tmp);if ('\n' == cin.get()) { break; }}return ret;
}template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:COutBuff() {m_p = puffer;}template<class T>void write(T x) {int num[28], sp = 0;if (x < 0)*m_p++ = '-', x = -x;if (!x)*m_p++ = 48;while (x)num[++sp] = x % 10, x /= 10;while (sp)*m_p++ = num[sp--] + 48;AuotToFile();}void writestr(const char* sz) {strcpy(m_p, sz);m_p += strlen(sz);AuotToFile();}inline void write(char ch){*m_p++ = ch;AuotToFile();}inline void ToFile() {fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);m_p = puffer;}~COutBuff() {ToFile();}
private:inline void AuotToFile() {if (m_p - puffer > N - 100) {ToFile();}}char  puffer[N], * m_p;
};template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:inline CInBuff() {}inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {FileToBuf();while (('\r' == *S) || ('\n' == *S) || (' ' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车ch = *S++;return *this;}inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {FileToBuf();int x(0), f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		return *this;}inline CInBuff& operator>>(long long& val) {FileToBuf();long long x(0); int f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行return *this;}template<class T1, class T2>inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {*this >> val.first >> val.second;return *this;}template<class T1, class T2, class T3>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);return *this;}template<class T1, class T2, class T3, class T4>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);return *this;}template<class T = int>inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {int n;*this >> n;val.resize(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> val[i];}return *this;}template<class T = int>vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> ret[i];}return ret;}template<class T = int>vector<T> Read() {vector<T> ret;*this >> ret;return ret;}
private:inline void FileToBuf() {const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);if (canRead >= 100) { return; }if (m_bFinish) { return; }for (int i = 0; i < canRead; i++){buffer[i] = S[i];//memcpy出错			}m_iWritePos = canRead;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }m_iWritePos += readCnt;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;}int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;char buffer[N + 10], * S = buffer;
};class Solution {
public:vector<int> Ans(vector<int>& as, vector<pair<int, int>> xp) {const int N = as.size();multiset<int> s;for (int i = 0; i < N; i++) {if (as[i]) { s.emplace(i); }}auto f = [&](int len) {if (0 == len) { return 1; }int iMax = 0, cnt = 0;for (int i = 0; i < 31; i++) {if ((1 << i) & len) {iMax = i;cnt++;}}return 1 << (iMax + (cnt > 1));};vector<int> ans;for (auto [x, p] : xp) {x--;s.erase(x);if (p) { s.emplace(x); }const int len = s.empty() ? 0 : (N - *s.begin());ans.emplace_back(f(len));}return ans;};
};int main() {
#ifdef _DEBUGfreopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);//CInBuff<> in; COutBuff<10'000'000> ob;int N, Q;cin >> N >> Q;auto as = Read<int>(N);auto xp = Read<pair<int, int>>(Q);#ifdef _DEBUG	//printf("N=%d,M=%d", N,M);//Out(v, ",v=");//Out(B, ",B=");//Out(que, ",que=");
#endif // DEBUG		Solution slu;auto res = Solution().Ans(as,xp);for (const auto& i : res) {cout << i << "\n";}return 0;
}

单元测试

vector<int> as;vector<pair<int, int>> xp;TEST_METHOD(TestMethod1){as = { 3,1,0 };xp = { {2,2},{1,0},{2,0} };auto res = Solution().Ans(as,xp);AssertEx({ 4,2,1 }, res);}

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