python | numpy小记（五）：理解 NumPy 中的 `np.arccos`：反余弦函数

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在科学计算与信号处理等领域，经常需要根据已知余弦值反向求角度——这时就用到 NumPy 提供的 np.arccos（反余弦）函数。下面从函数签名、数学定义、使用示例、注意事项和典型应用等方面，帮你系统地理解并掌握 np.arccos。

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一、函数签名与核心参数

numpy.arccos(x, /, out=None, *, where=True, casting='same_kind', order='K', dtype=None, subok=True)

• x：输入标量或数组（array_like），其元素应在 $[-1,1]$ 范围内。
• out：可选，提供一个同形状的数组用来就地存放结果。
• 其余参数用于高级广播、类型转换和性能调优，一般无需修改。

返回值是一个与 x 同形状的 ndarray，元素值就是对应输入的反余弦角度（单位：弧度）。

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二、数学定义与取值范围

• 定义

  $$\arccos (x)=\theta ,\text{s.t.}\cos (\theta )=x,0\le \theta \le \pi .$$

• 定义域：输入 $x$ 必须在 $[-1,1]$ 之内，否则输出 nan 并伴随警告。

• 值域：返回角度 $\theta \in [0,\pi ]$，即 $[0,180^{\circ }]$。

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三、基础使用示例

import numpy as np# 标量运算
print(np.arccos(1.0))    # 0.0 (0°)
print(np.arccos(0.0))    # ≈1.5708 (90°)
print(np.arccos(-1.0))   # ≈3.1416 (180°)# 数组运算
arr = np.array([1.0, 0.5, 0.0, -0.5, -1.0])
res = np.arccos(arr)
print(res)
# [0.         1.04719755 1.57079633 2.0943951  3.14159265]
# 其中 1.04719755≈60°，2.0943951≈120°

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四、与 Python 内建 math.acos 的对比

	math.acos(x)	np.arccos(x)
支持类型	单个浮点数	标量或任意维度数组
返回类型	Python float	NumPy ndarray
性能	单次调用	向量化批量运算，性能更高
广播与 out	不支持	支持广播、就地存储（out）

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五、常见问题与注意事项

1. 超出 $[-1,1]$

   x = np.array([1.2, -1.5])
   theta = np.arccos(x)
   # 会得到 [nan, nan] 并出现 RuntimeWarning
   

   可先用 np.clip(x, -1, 1) 将数值截断再计算，避免 nan。

2. 数据类型

   • 输入整数数组会被自动转换为浮点运算。
   • 输出默认 float64，可用 out= 或在后续处理中转换类型。

3. 单位转换
   如果需要度为单位，可再乘以 180/np.pi：

   deg = np.arccos(arr) * 180 / np.pi
   

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六、典型应用场景

1. 三维向量夹角计算

import numpy as npu = np.array([1, 0, 0])
v = np.array([1, 1, 0]) / np.sqrt(2)
dot = np.dot(u, v)          # 0.707...
angle = np.arccos(dot)      # ≈0.785 rad (45°)
print(angle, angle*180/np.pi)

2. 信号处理与相位差

对于频域信号 $X(f)$ 的实部和虚部，可计算相位：

phase = np.arccos(real_part / np.abs(X))

3. 几何绘图

结合 matplotlib 或 mayavi，可绘制极坐标或 3D 曲面：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plttheta = np.linspace(0, np.pi, 100)
y = np.cos(theta)
plt.plot(theta, y)
plt.xlabel('θ (rad)')
plt.ylabel('cos θ')
plt.title('Cosine Curve and Inverse Cosine Points')
plt.scatter(np.arccos(y), y)
plt.show()

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七、小结

• 功能：批量对输入数组执行反余弦运算，输出弧度制角度。
• 优势：向量化、支持广播与就地写入；性能远胜逐元素 Python 循环。
• 注意：保持输入 $[-1,1]$ 范围，避免产生 nan，并留意返回类型。

掌握 np.arccos，你就能在三维几何、相位分析、图像处理等多领域，高效地完成反余弦计算。欢迎在评论区分享你的实践案例和问题！