88.LMS当幅度和相位同时失配时，为啥最后权值w的相位angle(w(end))收敛到angle(mis)不是-angle(mis)
在LMS（最小均方）算法中，当幅度和相位同时存在失配时，权值 \( \mathbf{w} \) 的相位会收敛到 \( \angle(\text{mis}) \) 而不是 \( -\angle(\text{mis}) \)，这是由LMS的梯度下降机制和误差信号的相位关系共同决定的。以下是详细解释：
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### 1. **LMS的梯度下降方向**
LMS通过最小化均方误差 \( J = E[|e(n)|^2] \) 来更新权值，其中误差信号 \( e(n) = d(n) - \mathbf{w}^H(n)\mathbf{x}(n) \)（\( d(n) \) 是期望信号，\( \mathbf{x}(n) \) 是输入信号）。权值更新公式为：
\[
\mathbf{w}(n+1) = \mathbf{w}(n) + \mu \cdot e^*(n) \mathbf{x}(n),
\]
其中 \( \mu \) 是步长，\( e^*(n) \) 是误差的共轭。
- **关键点**：误差的共轭 \( e^*(n) \) 直接影响了权值更新的方向。若相位失配为 \( \theta = \angle(\text{mis}) \)，则 \( e(n) \) 会包含一个相位分量 \( e^{j\theta} \)，其共轭为 \( e^{-j\theta} \)。但权值的相位调整是通过梯度下降的**负方向**实现的，因此实际补偿方向是 \( \theta \) 而非 \( -\theta \)。
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### 2. **相位补偿的直观理解**
- 假设真实通道的失配为 \( \mathbf{h} = |\mathbf{h}|e^{j\theta} \)，而当前权值为 \( \mathbf{w} = |\mathbf{w}|e^{j\phi} \)。
- 为了匹配 \( \mathbf{h} \)，需要 \( \mathbf{w} \) 的相位 \( \phi \) 收敛到 \( \theta \)（即 \( \angle(\text{mis}) \)），使得 \( \mathbf{w}^H\mathbf{h} \) 的乘积相位对齐（共轭相乘后相位抵消）。
- 如果权值相位收敛到 \( -\theta \)，则 \( \mathbf{w}^H\mathbf{h} = |\mathbf{w}||\mathbf{h}|e^{j(\theta - (-\theta))} = e^{j2\theta} \)，反而会引入双倍相位误差，与目标矛盾。
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### 3. **数学推导**
设失配为 \( \mathbf{h} \)，权值需满足 \( \mathbf{w}^H \mathbf{h} = 1 \)（完全补偿时）。将相位失配表示为 \( \theta \)，则：
\[
\mathbf{w}^H \mathbf{h} = |\mathbf{w}||\mathbf{h}|e^{j(\theta - \phi)} \approx 1.
\]
要使实部最大（均方误差最小），需令 \( \theta - \phi = 0 \)，即 \( \phi \to \theta \)。
- 梯度下降的负方向会驱动 \( \phi \) 向 \( \theta \) 靠近，而非 \( -\theta \)。
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### 4. **幅度与相位的耦合影响**
- LMS的权值更新是幅度和相位同时调整的。由于相位误差对均方误差的影响更敏感（旋转导致信号正交时误差显著增大），算法会优先补偿相位。
- 相位对齐后，幅度调整通过权值的模 \( |\mathbf{w}| \) 完成，此时误差进一步减小。
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### 5. **物理意义**
- 相位失配会导致信号分量在复平面上旋转，而LMS通过共轭梯度（\( e^*(n)\mathbf{x}(n) \)）将权值相位“拉回”到与失配相位一致的方向，从而对齐信号。
- 若收敛到 \( -\angle(\text{mis}) \)，相当于反向旋转，会加剧正交分量的误差，与最小化目标冲突。
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### 总结
LMS权值的相位收敛到 \( \angle(\text{mis}) \) 而非 \( -\angle(\text{mis}) \)，本质是因为：
1. **梯度下降方向**由误差共轭 \( e^*(n) \) 决定，其相位关系驱动权值向失配相位对齐。
2. **数学最优性**要求 \( \mathbf{w}^H \mathbf{h} \) 的相位差为零，而非取负。
3. **物理上**，相位对齐是信号合成的必要条件，反向相位会导致更大误差。
这一机制保证了LMS在联合补偿幅度和相位时的高效性和稳定性。