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【数论构造】 P11036 【MX-X3-T3】「RiOI-4」GCD 与 LCM 问题|普及+

news 2025/7/1 14:42:12

本文涉及知识点

数论：质数、最大公约数、菲蜀定理
构造

P11036 【MX-X3-T3】「RiOI-4」GCD 与 LCM 问题

题目背景

原题链接：https://oier.team/problems/X3D。

「既然你说你不了解她，为什么又可以断言她一定是因为……」

是呀，自己对零羽还了解的确实不够多……泠珞这样想着。

在残缺的记忆当中，她只能想起，她和零羽的最大公约数，就是「音乐」。

还缺了什么呢？泠珞不知道。她只知道，那所缺失的，和「音乐」加起来，就是她的一切。一切的总和。

滴答，滴答。叮咚，叮咚。如果把长短不一、断断续续的钢琴声拼接在一起，能够回忆起什么吗。

题目描述

给定一个正整数 $a$ ，请你构造三个正整数 $b, c, d$ 使得 $a+b+c+d=\gcd(a,b)+\operatorname{lcm}(c,d)$ 。一个测试点内有多组数据。

由于出题人想把自己 QQ 号写题目里，你需要保证 $b,c,d\le 1\,634\,826\,193$ 。

如有多种可能的答案，输出任意一个均可。

输入格式

第一行一个正整数 $t$ 表示数据组数。

接下来 $t$ 行每行一个正整数 $a$ 。

输出格式

输出 $t$ 行，每行三个正整数 $b, c, d$ 。

如有多种可能的答案，输出任意一个均可。

输入输出样例 #1

输入 #1

输出 #1

7 9 2
9 6 8
5 9 2
8065343 8750 6446

说明/提示

【样例解释】

样例的构造为：

$1+7+9+2=19=\gcd(1,7)+\operatorname{lcm}(9,2)$
$2+9+6+8=25=\gcd(2,9)+\operatorname{lcm}(6,8)$
$3+5+9+2=19=\gcd(3,5)+\operatorname{lcm}(9,2)$
$20\,120\,712+8\,065\,343+8\,750+6\,446=28\,201\,251=\gcd(20\,120\,712,8\,065\,343)+\operatorname{lcm}(8\,750,6\,446)$

容易验证均满足要求。

【数据范围】

测试点	分数	$t\le$	$a\le$	特殊性质
$1$	$2$	$10$	$10$
$2$	$5$	$50$	$50$
$3$	$17$	$10^6$	$5\times10^8$
$4$	$29$	$10^6$	$10^9-1$	$a$ 为奇数
$5$	$47$	$2\times10^6$	$10^9$

对于 $100\%$ 的数据， $1\le t\le2\times10^6$ ， $1\le a\le 10^9$ 。

数论

如果b是奇数
$\equiv 1+ 2\times a + 4$
如果b不是奇数：
令 $\times 2^k$ ,k取最大值。
上式同时乘以 $2^k$
即： $b=2^k,c=2\times 2^k,d=(z+2)\times 2^k$
$2\times a 稍稍大于 1e9，故3\times a 小于QQ号$

代码

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include<array>#include <bitset>
#include <chrono>
using namespace std::chrono;
using namespace std;template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {in >> pr.first >> pr.second;return in;
}template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4, T5>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) ;return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5, class T6 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4, T5, T6>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) >> get<5>(t) ;return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5, class T6, class T7 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4, T5, T6, T7>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) >> get<5>(t) >> get<6>(t);return in;
}template<class T = int>
vector<T> Read() {int n;cin >> n;vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {vector<T> ret;T tmp;while (cin >> tmp) {ret.emplace_back(tmp);if ('\n' == cin.get()) { break; }}return ret;
}template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:COutBuff() {m_p = puffer;}template<class T>void write(T x) {int num[28], sp = 0;if (x < 0)*m_p++ = '-', x = -x;if (!x)*m_p++ = 48;while (x)num[++sp] = x % 10, x /= 10;while (sp)*m_p++ = num[sp--] + 48;AuotToFile();}void writestr(const char* sz) {strcpy(m_p, sz);m_p += strlen(sz);AuotToFile();}inline void write(char ch){*m_p++ = ch;AuotToFile();}inline void ToFile() {fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);m_p = puffer;}~COutBuff() {ToFile();}
private:inline void AuotToFile() {if (m_p - puffer > N - 100) {ToFile();}}char  puffer[N], * m_p;
};template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:inline CInBuff() {}inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {FileToBuf();while (('\r' == *S) || ('\n' == *S) || (' ' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车ch = *S++;return *this;}inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {FileToBuf();int x(0), f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		return *this;}inline CInBuff& operator>>(long long& val) {FileToBuf();long long x(0); int f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行return *this;}template<class T1, class T2>inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {*this >> val.first >> val.second;return *this;}template<class T1, class T2, class T3>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);return *this;}template<class T1, class T2, class T3, class T4>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);return *this;}template<class T = int>inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {int n;*this >> n;val.resize(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> val[i];}return *this;}template<class T = int>vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> ret[i];}return ret;}template<class T = int>vector<T> Read() {vector<T> ret;*this >> ret;return ret;}
private:inline void FileToBuf() {const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);if (canRead >= 100) { return; }if (m_bFinish) { return; }for (int i = 0; i < canRead; i++){buffer[i] = S[i];//memcpy出错			}m_iWritePos = canRead;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }m_iWritePos += readCnt;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;}int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;char buffer[N + 10], * S = buffer;
};class Solution {
public:tuple<int, int, int> Ans(int a) {int tmp = a;int k2 = 1;while (0 == tmp % 2) {k2 *= 2;tmp /= 2;}return { k2,2 * k2,(tmp + 2) * k2 };};
};
int main() {
#ifdef _DEBUGfreopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);//CInBuff<> in; COutBuff<10'000'000> ob;int T;cin >> T;while (T--){int a;cin >> a;
#ifdef _DEBUG	//printf("M=%d", M);//Out(A, ",A=");//Out(B, ",B=");//Out(que, ",que=");
#endif // DEBUG		Solution slu;auto [b, c, d] = Solution().Ans(a);cout << b << " " << c << " " << d << "\n";}return 0;
}

单元测试

		void Check(int a, int b, int c, int d) {Assert::IsTrue(b<=1634826193);Assert::IsTrue(c <= 1634826193);Assert::IsTrue(d<= 1634826193);std::wstringstream os;os << a << " " << b << " " << c << " " << d;Assert::IsTrue((long long)a + b + c + d== (long long)gcd(a, b)+lcm((long long)c, d),os.str().c_str());}TEST_METHOD(TestMethod1){vector<int> as = { 1,2,3,20120712,1<<29,(int)1e9 };for (int a : as){auto [b, c, d] = Solution().Ans(a);Check(a, b, c, d);}}

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