WOLA（Weighted Overlap-Add）方法详解

在数字信号处理领域，信号的分析和重建是非常重要的任务。WOLA（Weighted Overlap-Add）是一种常用的技术，特别是在处理音频信号时。它通过将信号分成重叠的帧并对每一帧进行加窗处理，来实现信号的有效重建。

WOLA 方法概述

WOLA 方法的核心思想是将长信号分成多个短帧，并对每一帧应用窗函数。通过重叠相加这些帧，WOLA 能够有效地重建信号。该方法的主要步骤如下：

1. 分帧: 将输入信号分成多个重叠的帧。
2. 加窗: 对每一帧应用窗函数（如汉宁窗），以减少边缘效应。
3. 重叠相加: 将处理后的帧重叠相加，重建完整信号。

首先将输入信号$x[n]$ 分成多个重叠的帧。假设信号的长度为$L$，窗长度为$N$，帧移为$H$，则可以表示为：
$$x[n]=\{\begin{array}{ll}x[0],& 0\le n<L\\ 0,& \text{otherwise}\end{array}$$
每一帧$x_k[n]$ 可以表示为：
$$x_k[n]=x[n-kH]\text{for }n=0,1,\dots ,N-1$$

其中$k$是帧的索引，$k=0,1,2,\dots ,K$，$K$是帧的总数。
对每一帧应用窗函数 ( w[n] )，通常使用汉宁窗或汉明窗。窗函数的定义为：
$$w[n]=\text{窗函数}(n)\text{for }n=0,1,\dots ,N-1$$

加窗后的帧$x_k[n]$ 可以表示为：
$$y_k[n]=x_k[n]\cdot w[n]\text{for }n=0,1,\dots ,N-1$$

重叠相加的公式可以表示为：
$$y[n]=\sum _{k=0}^K{y}_k[n]\text{for }n=0,1,\dots ,L+N-1$$

$y[n]$ 是重建后的信号。由于帧之间的重叠，输出信号的幅度可能会增加，因此需要进行归一化处理。

在使用汉宁窗的情况下，最终的重建信号可以表示为：
$$\text{Normalization Factor}=\frac{N}{H\times 2}$$

$N$: 窗口长度（window_length），表示每个帧的样本数。
$H$: 帧移（hop_size），表示每次移动的样本数。
$$y[n]=\frac{1}{\text{Normalization Factor}}\sum _{k=0}^K{y}_k[n]$$

Python 实现

下面是基于 WOLA 方法的 Python 实现示例。该示例生成一个随机信号，使用 WOLA 方法进行重建，并可视化原始信号、重建信号和分帧信号。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import get_window# 生成随机信号
def generate_random_signal(duration, fs):num_samples = int(fs * duration)return np.random.randn(num_samples), np.linspace(0, duration, num_samples)# WOLA 实现
def wola(signal, window_length, hop_size):window = get_window('hann', window_length)  # 使用汉宁窗num_frames = (len(signal) - window_length) // hop_size + 1output_length = hop_size * (num_frames - 1) + window_lengthoutput = np.zeros(output_length)# 计算归一化因子normalization_factor = window_length / (hop_size * 2)for k in range(num_frames):start = k * hop_sizeframe = signal[start:start + window_length] * window  # 加窗output[start:start + window_length] += frame / normalization_factor  # 重叠相加并归一化return output# 参数设置
fs = 16000  # 采样率
duration = 0.05  # 持续时间
window_length = 320  # 窗口长度
hop_size = 80  # 帧移# 生成随机信号
signal, t = generate_random_signal(duration, fs)# 1. 原始信号分帧加窗
window = get_window('hann', window_length)
num_frames = (len(signal) - window_length) // hop_size + 1
frames = np.array([signal[i * hop_size:i * hop_size + window_length] * window for i in range(num_frames)])# 4. 利用 WOLA 技术重建信号
wola_reconstructed_signal = wola(signal, window_length, hop_size)# 可视化原始信号和重建信号在一张大图中
plt.figure(figsize=(12, 8))# 原始信号
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(t, signal, label='Original Random Signal', color='blue')
plt.title('Original Random Signal')
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.xlim(0, duration)
plt.grid()# 重建信号
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(np.linspace(0, duration, len(wola_reconstructed_signal)), wola_reconstructed_signal,label='Reconstructed Signal from WOLA', color='red')
plt.title('Reconstructed Signal from WOLA')
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.xlim(0, duration)
plt.grid()plt.tight_layout()
plt.show()# 可视化分帧信号（每一帧单独子图）
plt.figure(figsize=(12, 8))
for i in range(num_frames):plt.subplot(num_frames, 1, i + 1)  # 创建 num_frames 个子图plt.plot(np.linspace(i * hop_size / fs, (i * hop_size + window_length) / fs, window_length), frames[i],color='orange', alpha=0.5)plt.title(f'Windowed Frame {i + 1}')plt.xlabel('Time (s)')plt.ylabel('Amplitude')plt.xlim(0, duration)  # 只显示原始信号的时间范围plt.grid()plt.tight_layout()
plt.show()

代码说明

1. 生成随机信号: 使用 generate_random_signal 函数生成一个长度为 0.05 秒的随机信号，采样率为 16000 Hz。
2. WOLA 实现: wola 函数实现了 WOLA 方法，使用汉宁窗对信号进行加窗，并在重叠相加时进行归一化处理。
3. 可视化: 原始信号和重建信号绘制在同一张图中，分帧信号在另一张图中，每一帧在单独的子图中显示。
4. 归一化因子的计算逻辑

normalization_factor = window_length / (hop_size * 2)

在使用汉宁窗的情况下，重叠 2 次正好可以恢复原始信号幅度，如果重叠次数不为 2，需要计算归一化幅度。


上面重建的信号在首尾帧幅度降低。在实际操作中，为了消除加窗对信号首尾帧的影响，通常需要在信号的两端进行填充。这种填充可以确保在处理信号时，窗函数的边缘不会影响到信号的重建，特别是在信号的开始和结束部分。本文不赘述这部分，。