《高等数学》（同济大学·第7版）第二章第五节“函数微分“

一、微分的定义

1. 基本概念：
   如果函数y=f(x)在x点处的增量Δy可以表示为：
   Δy = A·Δx + o(Δx)
   其中A与Δx无关，o(Δx)是Δx的高阶无穷小，则称f(x)在x处可微。

2. 微分表达式：
   dy = f’(x)dx
   其中dx=Δx称为自变量的微分。

3. 几何意义：
   微分dy表示函数曲线在x点处切线的纵坐标增量。

二、可微的条件

1. 定理：
   函数f(x)在x处可微的充要条件是在该点可导。

2. 示例：
   函数y=x²在x=1处：

   • 导数f’(1)=2
   • 微分dy=2dx

三、微分公式与计算

1. 基本微分公式：
   (1) d©=0 （C为常数）
   (2) d(xⁿ)=nxⁿ⁻¹dx
   (3) d(sinx)=cosx dx
   (4) d(eˣ)=eˣ dx

2. 运算法则：
   (1) d(u±v)=du±dv
   (2) d(uv)=vdu+udv
   (3) d(u/v)=(vdu-udv)/v²

3. 复合函数微分：
   设y=f(u)，u=g(x)，则：
   dy=f’(u)g’(x)dx

四、微分的应用

1. 近似计算：
   f(x₀+Δx)≈f(x₀)+f’(x₀)Δx
   示例：近似计算√1.02
   √1.02≈1+0.02/2=1.01

2. 误差估计：
   绝对误差：Δy≈dy=f’(x)Δx
   相对误差：Δy/y≈f’(x)Δx/f(x)

五、高阶微分

1. 二阶微分：
   d²y=d(dy)=f’'(x)dx²
   示例：y=x³的二阶微分：
   d²y=6x dx²

六、实际应用

1. 在AI中的应用：
   (1) 神经网络中的反向传播算法
   (2) 梯度下降优化方法

2. 在量化金融中的应用：
   (1) 期权定价中的希腊字母计算
   (2) 风险评估中的敏感性分析

七、常见问题

1. 微分与导数的区别：

   • 导数是变化率
   • 微分是增量的线性主部

2. 注意事项：
   (1) 微分计算时要正确使用链式法则
   (2) 近似计算时Δx要足够小

八、典型例题

1. 例题1：
   求函数y=ln(1+x²)的微分
   解：dy=(2x)/(1+x²) dx

2. 例题2：
   用微分近似计算sin31°
   解：
   sin31°≈sin30°+cos30°·(π/180)
   ≈0.5+0.8660×0.0175≈0.5152