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动态规划之01背包问题

news 2025/6/27 8:46:12

动态规划算法 
动态规划算法介绍 动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法
动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待解决问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解
与分治法不同的是，适合于动态规划求解的问题。经分解得到子问题往往不是互相独立的。（即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的基础上，进行进一步的求解）
动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解
 
应用场景-背包问题 背包问题：有一个背包，容量为4磅，现有如下物品 物品重量价格
吉他(G)11500
音响(S)43000
电脑(L)32000
 要求达到的目标为装入背包的总价值最大，并且重量不超出
要求装入的物品不能重复
 
思路分析与图解 背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分为01背包和完全背包（完全背包指的是：每种物品都有无限件可用）
这里的问题属于01背包，即每个物品最多放一个。而无线背包可以转化为01背包
算法的主要思想是，利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品，根据w[i]和v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品，设v[i]、w[i]分别为第i个物品的价值和重量，C为背包的容量。再令v[i][j]表示再前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值。则我们得到如下结果
 1. v[i][0]=v[0][j]=0;//表示填入表第一行和第一列是0
2. 当w[i]>j时：v[i][j]=v[i-1][j] // 当准备加入新增的商品容量大于当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略
3. 当j>=w[i]时，v[i][j]=max{v[i-1][j],v[i]+v[i-1][j-w[i]]}
// 当准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量
// 装入的方式
v[i-1][j]：指上一个单元格装入的最大值
v[i]：当前商品的价值
v[i-1][j-w[i]]：装入i-1商品，到剩余空间j-w[i]的最大值
 图解
 
 
代码实现
 public class KnapsackProblem {public static void main(String[] args) {int[] w = {1,4,3}; // 物品的重量int val[] = {1500,3000,2000}; // 物品的价值int m = 4; // 背包的容量int n = w.length; // 物品的个数// v[i][j]表示在前j个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值int[][] v = new int[n+1][m+1];// 记录有没有放入对应的商品.1表示放入了int[][] path = new int[n+1][m+1];// 初始化第一行和第一列，在本程序中可以不处理，因为默认是0// 根据前面得到公式来动态规划处理// 跳过第一行和第一列for(int i = 1; i < v.length;i++) {for(int j = 1; j < v[0].length;j++) {// 当前物品大于背包容量if(w[i-1] > j) {v[i][j] = v[i-1][j];}else {// 当前物品大于等于背包容量int newValue = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];if(v[i - 1][j] < newValue) {v[i][j] = newValue;// 表明把当前商品放入到背包中path[i][j] = 1;}else {v[i][j] = v[i - 1][j];}}}}// 输出以下，看看目前的情况for (int i = 0; i < v.length; i++) {for (int j = 0; j < v[i].length; j++) {System.out.print(v[i][j] + "  ");}System.out.println();}System.out.println("------------------");// 输出最后我们放入的是那些商品int i = path.length - 1; // 最后一个商品int j = path[0].length - 1;while(i > 0 && j > 0) {if(path[i][j] == 1) {System.out.println("把商品" + i + "放入背包中");j -= w[i-1];}i--;}}
}
 